Από λίγα, πολλά

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #1

Σε τετράγωνο $\displaystyle {\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}$ , το ${\rm A}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm K}{\rm N}$ . Φέρνω το ${\rm A}\Lambda$ και έστω ${\rm B}$ το μέσον του. Φέρνω το ${\rm M}{\rm B}$ και έστω $\Gamma$ το μέσον του. Φέρνω το $\Gamma {\rm N}$ και έστω $\Delta$ το μέσον του. Αν το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι $7\,{m^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν ${\rm X}$ του τετραγώνου.

#2

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2024 10:41 am
Σε τετράγωνο $\displaystyle {\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}$ , το ${\rm A}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm K}{\rm N}$ . Φέρνω το ${\rm A}\Lambda$ και έστω ${\rm B}$ το μέσον του. Φέρνω το ${\rm M}{\rm B}$ και έστω $\Gamma$ το μέσον του. Φέρνω το $\Gamma {\rm N}$ και έστω $\Delta$ το μέσον του. Αν το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι $7\,{m^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν ${\rm X}$ του τετραγώνου.

Για λόγους ευκολίας στην πληκτρολόγηση αντικατέστησα τα γράμματα $\Lambda, \Gamma, \Delta$ με τα L, C, D

αντίστοιχα.

Η

διέρχεται από το μέσο

του

και είναι παράλληλη στην AL.

Αυτό θα το αποδείξω αργότερα (*)

: Από λίγα πολλά.png (21.57 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

Λόγω της παραλληλίας, αλλά και των διαμέσων, προκύπτουν κάποια ισεμβαδικά τρίγωνα που σημειώνονται

στο σχήμα με

και κάποια άλλα με

Αλλά, $\displaystyle (ANPL) = \frac{X}{2},(NMP) = \frac{X}{4}.$ Άρα:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 2S + \frac{{5W}}{2} = \frac{X}{2} \hfill \\ \hfill \\ 2S + \frac{W}{2} = \frac{X}{4} \hfill \\ \hfill \\ S + W = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Λύνοντας το σύστημα(είναι απλό) βρίσκω S=3, W=4

και $\boxed{X=32 m^2}$

(*) Θα δείξω ότι NC||AL.

: Από λίγα πολλά.β.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές

Φέρνω τη διάμεσο

του τραπεζίου ANML

που είναι και διάμεσος του τριγώνου BNM.

Προφανώς η

διέρχεται από το μέσο

του

και είναι $BG=\dfrac{a}{2}=2GD.$ Άρα NG||AL

και

είναι το βαρύκεντρο

του τριγώνου BNM,

οπότε η

διέρχεται από το

και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2024 10:41 am
Σε τετράγωνο $\displaystyle {\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}$ , το ${\rm A}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm K}{\rm N}$ . Φέρνω το ${\rm A}\Lambda$ και έστω ${\rm B}$ το μέσον του. Φέρνω το ${\rm M}{\rm B}$ και έστω $\Gamma$ το μέσον του. Φέρνω το $\Gamma {\rm N}$ και έστω $\Delta$ το μέσον του. Αν το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι $7\,{m^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν ${\rm X}$ του τετραγώνου.

Διέγραψα τη λύση που είχα αναρτήσει γιατί διαπίστωσα ότι ήταν ακριβώς ίδια με τη λύση του Γιώργου,την οποία μόλις διάβασα

STOPJOHN · #4

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2024 10:41 am
Σε τετράγωνο $\displaystyle {\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}$ , το ${\rm A}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm K}{\rm N}$ . Φέρνω το ${\rm A}\Lambda$ και έστω ${\rm B}$ το μέσον του. Φέρνω το ${\rm M}{\rm B}$ και έστω $\Gamma$ το μέσον του. Φέρνω το $\Gamma {\rm N}$ και έστω $\Delta$ το μέσον του. Αν το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι $7\,{m^2}$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν ${\rm X}$ του τετραγώνου.

Έστω $(AKB)=E_{1},(B\Lambda \Gamma )=E_{2},(M\Delta \Gamma )=E_{3},(NA\Delta )=E_{4},$

$E_{2}+E_{4}=7,(1),E_{1}=\dfrac{a^{2}}{8},a^{2}=2E_{1}+3E_{2}+2E_{4}+2E_{3},(2), E_{2}+2E_{3}=\dfrac{3a^{2}}{4}-14,(3),(AM\Gamma )+(ANM)=(AN\Gamma )+(NM\Gamma )\Rightarrow 3E_{2}-2E_{3}=14-\dfrac{a^{2}}{4},(4), (3),(4)\Rightarrow E_{2}=\dfrac{a^{2}}{8}, E_{3}=\dfrac{5a^{2}}{16}-7$

$(MBN)=4E_{3}\Rightarrow 4(\dfrac{5a^{2}}{16}-7)=\dfrac{1}{2}a(a-\dfrac{a}{4})\Rightarrow a^{2}=32$

Προφανώς τα τριγωνα $KNB,MB\Lambda$ είνα ισα και το τρίγωνο NBM

ισοσκελές

Από λίγα, πολλά

Από λίγα, πολλά

Re: Από λίγα, πολλά

Re: Από λίγα, πολλά

Re: Από λίγα, πολλά

Μέλη σε σύνδεση