Παράλληλη προβολή και αναπαράσταση σχημάτων στην στερεομετρία

[Al.Koutsouridis]

(Με χειροποίητο σχήμα παλιάς κοπής).

Με αφορμή τα σχήματα των κ. Σωτήρη και Γιώργου θα ήθελα να παρουσιάσω μερικές ιδιότητες και κανόνες που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση τρισδιάστατων σχημάτων. Αν και τα παρακάτω μπορούν να βρεθούν σε διάφορα βιβλία, για λόγους εμπλουτισμού της βιβλιογραφικής αναφοράς και επειδή από διδακτικής σκοπιάς το βρήκα ενδιαφέρον, μεταφέρω δυο ενότητες από το σχολικό εγχειρίδιο των Β.Μ. Κλόπσκϊι, Ζ. Α. Σκοπέτς, Μ. Ι. Ιαγκοντόβσκϊι «Γεωμετρία» 1978, Σχολικό εγχειρίδιο για της τάξης 9 και 10, της μέσης εκπαίδευσης (σημ. μετ. στις τάξεις 9-10 διδάσκονταν στερεομετρία).

Στο βιβλίο αυτό μετά τους βασικούς ορισμούς και αξιώματα τη στερεομετρίας και τις έννοιες παράλληλων ευθειών στο χώρο κτλ, εξετάζεται η αναπαράσταση των σχημάτων της στερεομετρίας, ώστε ο μαθητής να έχει την δυνατότητα να φτιάχνει σωστά σχήματα στη συνέχεια του μαθήματος. Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων και κανόνων παραλείπονται σε αυτό το σημείο και δίνονται, σε μερικές από αυτές, αργότερα σε παρακάτω κεφάλαια.

Παράλληλη προβολή σχήματος. Ιδιότητες παράλληλης προβολής.

Σε αυτήν και στις επόμενες παραγράφους θα διατυπώσουμε τους κανόνες, οι οποίοι χρησιμοποιούνται στην στερεομετρία για την αναπαράσταση των σχημάτων. Αρχικά θα εισάγουμε μερικές νέες έννοιες.

Έστω ότι μας δίνεται ένα επίπεδο και μια ευθεία , που τέμνει το επίπεδο (Σχήμα 39). Διαλέγουμε ένα τυχαίο σημείο και από αυτό φέρουμε ευθεία , παράλληλη προς την . Η ευθεία τέμνει το σε ένα σημείο (Σχήμα 39). Το σημείο , που προκύπτει με αυτό τον τρόπο το ονομάζουμε προβολή του σημείου στο επίπεδο υπό την προβολή παράλληλα προς την ευθεία (πιο σύντομα, το σημείο είναι η παράλληλη προβολή του σημείου ). Παράλληλη προβολή του σχήματος ονομάζουμε την παράλληλη προβολή όλων των σημείων του δοθέντος σχήματος (σημ. μετ. στο εγχειρίδιο αυτό το γεωμετρικό σχήμα ορίζεται ως σύνολο σημείων).

Μια ιδέα της παράλληλης προβολής ενός σχήματος μπορούμε να πάρουμε, εξετάζοντας την σκιά, που σχηματίζει σε ένα τοίχο σε μια ηλιόλουστη μέρα το μοντέλο από χαρτόνι ή σύρμα αυτού του σχήματος (σχήμα 40 και 41). Τις ακτίνες του ήλιου μπορούμε προσεγγιστικά να τις θεωρήσουμε παράλληλες ως συνέπεια της μεγάλης απόστασης της γης από τον ήλιο.

Το μοντέλο ενός κανονικού εξάγωνου (Σχήμα 41) σχηματίζει σκιά στον τοίχο στην μορφή ενός πολύγωνου . Παρατηρώντας αυτή την σκιά (για διάφορες θέσεις του επιπέδου του πολυγώνου ως προς το επίπεδο του τοίχου), μπορούμε να εκφράσουμε μερικές υποθέσεις για τις ιδιότητες της παράλληλης προβολής. Θα διατυπώσουμε αυτές τις ιδιότητες, υποθέτοντας, ότι η προβολή γίνεται παράλληλα σε ευθεία , μη παράλληλη με τις υπό προβολή ευθείες ή ευθύγραμμα τμήματα.

Ιδιότητα 1. Η προβολή ευθείας είναι ευθεία.

Ιδιότητα 2. Οι προβολές παράλληλων ευθείων είναι παράλληλες.

Ιδιότητα 3. Ο λόγος των μηκών των προβολών δυο παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων ισούται με το λόγο των μηκών των προβαλλόντων τμημάτων.

Η απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων παραλείπεται.

parallhlh_provolh.png (220.1 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές

Συνεχίζεται στην επόμενη δημοσίευση...

[Al.Koutsouridis]

Αναπαράσταση σχημάτων στην στερεομετρία

Στην στερεομετρία αναπαράσταση ενός σχήματος (πρωτότυπου) θα ονομάζουμε οποιοδήποτε σχήμα, όμοιο με την παράλληλη προβολή του δοθέντος σχήματος σε κάποιο επίπεδο. Για δοθέν σχήμα η μορφή της αναπαράστασής του εξαρτάται από την θέση του πρωτότυπου (σχήματος) ως προς το επίπεδο προβολής, καθώς και από την επιλογή της ευθείας , παράλληλα στην οποία εκτελείται η προβολή.

Το πρόβλημα της κατασκευής της αναπαράστασης ενός σχήματος θεωρείται λυμένο, αν προκύψει μια οποιαδήποτε αναπαράσταση του σχήματος, αρκούντος πρακτική και βολική στο να φέρουμε συμπληρωματικές ευθείες. Οι τρόποι κατασκευής της αναπαράστασης, τους οποίους θα χρησιμοποιήσουμε, στηρίζονται στις ιδιότητες της παράλληλης προβολής.

1. Τρίγωνο. Παρατηρώντας την σκιά του μοντέλου του τριγώνου (Σχήμα 42) είναι φυσικό να υποθέσουμε, ότι η προβολή του δοθέντος τριγώνου μπορεί να είναι τρίγωνο οποιασδήποτε μορφής. Ισχύει η πρόταση: οποιοδήποτε τρίγωνο, που βρίσκεται στο επίπεδο προβολής, μπορεί να θεωρηθεί ως αναπαράσταση του δοθέντος τριγώνου.

Ως ειδική περίπτωση, ένα ισοσκελές τρίγωνο μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή οποιουδήποτε ισοσκελούς τριγώνου. Ερχόμαστε στο συμπέρασμα: υπό την παράλληλη προβολή το μέτρο των γωνιών και ο λόγος μη παράλληλων ευθύγραμμων τμημάτων, στην γενική περίπτωση, δεν διατηρούνται.

Η ιδιότητα 3 της παράλληλης προβολής μας επιτρέπει, στην ειδική περίπτωση, να συμπεράνουμε, ότι η διάμεσος ενός τριγώνου αναπαρίσταται ως διάμεσος του τριγώνου αναπαράστασης (Σχήμα 43).

2. Παραλληλόγραμμο. Εφόσον οι παραλληλία ευθειών στην παράλληλη προβολή διατηρείται, τότε η αναπαράσταση ενός παραλληλόγραμμου (ως ειδική περίπτωση ορθογωνίου, τετραγώνου, ρόμβου) είναι παραλληλόγραμμο (η αναπαράσταση) τυχαίας μορφής.

Για την αλήθεια της τελευταίας πρότασης αρκεί κανείς να εφαρμόσει τον κανόνα της αναπαράστασης τριγώνου (παράγραφος 1) στο τρίγωνο, που προκύπτει αν φέρουμε την διαγώνιο του πρωτότυπου παραλληλόγραμμου (Σχήμα 44).

3. Τραπέζιο. Οι ιδιότητες της παράλληλης προβολής μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε, ότι το τραπέζιο αναπαρίσταται στην μορφή ενός τραπεζίου (Σχήμα 45), στο οποίο ο λόγος των βάσεων ισούται με τον λόγο των βάσεων του πρωτοτύπου.

Το ισοσκελές τραπέζιο έχει άξονα συμμετρίας. Χρησιμοποιώντας αυτή την ιδιότητα, κατασκευάζουμε (Σχήμα 46) την αναπαράσταση του ύψους αυτού του τραπεζίου: , , .

4. Κανονικό εξάγωνο. Εξετάζουμε το κανονικό εξάγωνο (Σχήμα 47, α). Φέρουμε σε αυτό τις διαγώνιους και . Προκύπτουν οι ρόμβοι και , συμμετρικοί ως προς το σημείο .

Ο ρόμβος και αναπαριστάνεται σύμφωνα με την παράγραφο 2 στην μορφή οποιουδήποτε παραλληλόγραμμου (Σχήμα 47, β). Ύστερα κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο , συμμετρικό του ως προς το σημείο (Ιδιότητα 3 της προηγούμενης ενότητας). Ενώνοντας τα σημεία και , και προκύπτει η ζητούμενη αναπαράσταση .

kanones_anaparastashs_sxhmatwn_1.png (257.01 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές

5. Τετράεδρο. Εξετάζουμε την σκιά του «σκελετού» ενός μοντέλου τετραέδρου (Σχήμα 48).
Μπορούμε να θεωρήσουμε, ότι αναπαράσταση των ακμών αυτού του τετράεδρου μπορούν να αποτελούν οι πλευρές και οι διαγώνιοι οποιουδήποτε (κυρτού ή μη κυρτού) τετράπλευρου (Σχήμα 49 και 50). Την απόδειξη αυτού του γεγονότος, χρήση του οποίου θα κάνουμε στη συνέχεια, την παραλείπουμε.

6. Παραλληλεπίπεδο. Έστω ότι δίνεται το παραλληλεπίπεδο (πρωτότυπο). Διαλέγουμε τρεις ακμές του με κοινή αρχή. Εξετάζουμε το τετράεδρο . Κάνοντας χρήση του κανόνα αναπαράστασης τετραέδρου, ερχόμαστε στο συμπέρασμα ότι τις ακμές του μπορούν να αναπαρασταθούν στην μορφή τριών οποιονδήποτε τμημάτων με κοινή αρχή (Σχήμα 52, α). Σε αυτό το σημείο η αναπαράσταση του παραλληλεπιπέδου πρακτικά τελειώνει. Οι υπόλοιπες ακμές του θα αναπαρασταθούν (σύμφωνα με τις ιδιότητες 1-3 τις προηγούμενης ενότητας), με καλώς ορισμένα τμήματα (Σχήμα 52, β): το καθένα από αυτά είναι παράλληλο με ένα από τα τμήματα που κατασκευάσαμε και έχουν ίσα μήκη.

Η κατασκευή του παραλληλεπίπεδου (καθώς και άλλων σχημάτων), που μπορεί να προκύψει, ενίοτε μπορεί να φανεί κάπως παράξενη. Για παράδειγμα, στο σχήμα 53 φαίνονται οι αναπαραστάσεις ενός κύβου, που μπορεί να προκύψουν με κατάλληλη επιλογή προβολής. Βέβαια εμείς θα χρησιμοποιήσουμε την οικεία αναπαράσταση του κύβου του σχήματος 24.

Οι τρόποι αναπαράστασης πολλών άλλων σχημάτων θα εξεταστούν στην 10η τάξη.

kanones_anaparastashs_sxhmatwn_2.png (267.74 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές

[george visvikis]

Ευχαριστούμε Αλέξανδρε

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

Αλέξανδρε, ο κόπος σου εκτιμάται...