ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Θεωρήματος

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη τη παρακάτω νέα Πρόταση Γεωμετρίας, που αποτελεί επέκταση Θεωρήματος :

Β1. Σε κάθε τρίγωνο, οι έξι τομές των μεσοκαθέτων στις διχοτόμους του, με τις πλευρές του τριγώνου, αποτελούν τις κορυφές δύο τριγώνων, ομολογικών με το τρίγωνο αναφοράς.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
]“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
viewtopic.php?f=6&t=5323

Απόδειξη της Επέκτασης Β1.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 7, Σελίδα βιβλίου 366 ψηφιακή 375, Πρόταση 7ι(191),

Ή, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/17DsqXK ... m99Zs/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 7, Σελίδα βιβλίου 366 ψηφιακή 375, Πρόταση 7ι(191),

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Απόδειξη γνωστού Θεωρήματος.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω γνωστό Θεώρημα και ζητώ νέες αποδείξεις του και τα σχόλιά σας.
Β2. Αν δύο τετράπλευρα είναι το ένα εγγεγραμμένο και το άλλο περιγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο, έτσι ώστε οι κορυφές του εγγεγραμμένου να συμπίπτουν στα σημεία επαφής του περιγεγραμμένου στον κύκλο, τότε οι απέναντι πλευρές καθενός από τα παραπάνω τετράπλευρα, τέμνονται κατά ζεύγη σε τέσσερα σημεία, τα οποία είναι συνευθειακά και η κάθε μία διαγώνιος του περιγεγραμμένου περνά από μια από τις δύο τομές των απέναντι πλευρών του εγγεγραμμένου.

Δική μου νέα απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

1. Αγαπητοί φίλοι, σε κάθε μου ανάρτησή εδώ, με την τελευταία μου παράγραφο, παραπέμπω στο ποστ 1, ως εξής:
«Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.».

2. Στο ποστ 1, μεταξύ άλλων, αναφέρονται και τα ακόλουθα:
«Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας.
α. Σ’ αυτό εδώ τον χώρο, θα σας παρουσιάζουμε στο εξής, ενδιαφέρουσες, κατά την γνώμη μας πρωτοεμφανιζόμενες Γενικεύσεις, Επεκτάσεις, Αποδείξεις γνωστών Προτάσεων - Προβλήματα- γ.τ. Γεωμετρίας, τις οποίες έχουμε επινοήσει κατά το παρελθόν και τις οποίες δεν είχαμε συναντήσει μέχρι τότε, στη γνωστή μας βιβλιογραφία, άσχετα αν εκ των υστέρων έχουμε συναντήσει κάποιες απ’ αυτές.
β. Για όλα αυτά θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριμένα αν τις έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.
γ. Εξυπακούεται ότι, οι παραπάνω Προτάσεις - Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, μπορεί να είναι πολύ δύσκολα μέχρι και πολύ απλά. Στη δεύτερη περίπτωση, σωστό είναι οι κ. κ. Καθηγητές να τις αφήνουν για τους μαθητές, τουλάχιστον για ένα 24ωρο.
δ. Στόχος μας είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσουμε στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες Γενικεύσεις, Επεκτάσεις, Αποδείξεις γνωστών Προτάσεων -Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, μπορέσουμε και λιγότερο η συμμετοχή.
Οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δίνουν τις δικές τους Επεκτάσεις- Γενικεύσεις- Αποδείξεις και τα δικά τους σχόλια».

3. Επειδή παρατήρησα ότι τα παραπάνω δε λαμβάνονται υπόψη, θα ήθελα να παρακαλέσω και πάλι να λαμβάνονται πάντα υπόψη, προς αποφυγή παρεξηγήσεων.

4. Τα παραπάνω αναφερόμενα πιστεύω ότι δίνουν απαντήσεις σε διάφορους υπαινιγμούς.
Ευχαριστώ για την προσοχή σας.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της Πρότασςης Β2.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 1, Σελίδα βιβλίου 366 ψηφιακή 166, Πρόταση 1β(3),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Περιαχόμενα αυξ. αρ.8, σελιδα βιβλίου 93 ή ψηφιακά 117 , Πρόταση 6.


Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Θεωρήματος Gergonne.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β3 και ζητώ αποδείξεις της και τα σχόλιά σας.
Β3. Οι πλευρές του τριγώνου που έχει κορυφές τρία σημεία τα οποία είναι τομές των πλευρών δοσμένου τριγώνου και τριών σεβιανών του, που συγκλίνουν σε ένα σημείο του επιπέδου του δοσμένου τριγώνου, τέμνουν τις αποστάσεις των κορυφών του δοσμένου τριγώνου, από το σημείο σύγκλισης των παραπάνω σεβιανών σε μέρη των οποίων το άθροισμα των τριών λόγων τους, είναι ίσο μα την μονάδα.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β3.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2, Σελίδα βιβλίου 178 ψηφιακή 204, Πρόταση 2γ(1),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 178 ψηφιακή 204, Πρόταση 2γ(1),

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Απόδειξη Γνωστού Θεωρήματος της Συμμετροδιαμέσου.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω γνωστό Θεώρημα Β4 και ζητώ νέες αποδείξεις του και τα σχόλιά σας:

Β4. Κάθε συμμετροδιάμεσος διαιρεί την απέναντι πλευρα κάθε τριγώνου, σε μέρη ανάλογα των τετραγώνων των προσκειμένων πλευρών του τριγώνου και αντίστροφα.

Δική μου νέα απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β4.

Αγαπητοί φίλοι,
Την νέα απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2, Σελίδα βιβλίου 171 διαδυκτίου 197, Πρόταση 2β(20),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 171 διαδυκτίου 197, Πρόταση 2β(20),

Παρακαλώ για τις δικές σας νέες αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

Νέα Απόδειξη Γνωστού Θεωρήματος της Συμμετροδιαμέσου.

Β4. Κάθε συμμετροδιάμεσος διαιρεί την απέναντι πλευρα κάθε τριγώνου, σε μέρη ανάλογα των τετραγώνων των προσκειμένων πλευρών του τριγώνου και αντίστροφα.

Νέα Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β4.

Για την ιστορική ακρίβεια θα ήθελα να επισημάνω ότι η παραπάνω πρόταση και η απόδειξή της ήταν γνωστά ήδη από την αρχαιότητα. Συγκεκριμένα, μία γενίκευσή της (αλλά ουσιαστικά με την ίδια απόδειξη πλην δευτερεύουσας παραλλαγής) βρίσκεται στην Συναγωγή του Πάππου, Βιβλίο 6, Πρόταση 12.

Επισυνάπτω μία εικόνα με την εκφώνηση της πρότασης στο αρχαίο κείμενο και της μετάφρασής του, από την έκδοση του Σπάνδάγου, τόμος Β, σελίδες 81 και 296, αλλά ας ανατρέξει εκεί ο αναγνώστης για την απόδειξη.

Το Θεώρημα στον Πάππου θεωρεί δύο ιοοκλινείς ως προς την διχοτόμο, όπως ακριβώς συμβαίνει (εξ ορισμού) με την διάμεσο και την συμμετροδιάμεσο. Σε αυτή την περίπτωση τα είναι ίσα ( το μέσον της οπότε απλοποιούνται). Η απόδειξη του Πάπππου είναι ουσιαστικά η ίδια, πλην δευτερεύουσας παραλλαγής, καθώς θεωρεί κάποια βοηθητική ευθεία παράλληλη της βάσης, την οποία παίρνει "από πάνω" από την βάση αντί "από κάτω". Η κεντρική ιδέα, πάντως, είναι ίδια.

Το εν λόγω θεώρημα (και πολλά άλλα στο εδώ θρεντ) εμφανίζονται πάμπολλες φορές στην παλιά βιβλιογραφία, με παράμοιες αποδείξεις ή με ποικιλία αποδείξεων, κατά περίπτωση. Για παράδειγμα για το παραπάνω (και υπάρχουν δεκάδες άλλες αντίστοιχες παραπομπές προ αιώνος) βλέπε

C. Adams, Die merkwiirdigsten Eigenscliaften des geradlinigen Dreieck, έκδοση 1846, στις σελίδες 1 - 5.

(Ο τίτλος σημαίνει "Οι πιο περίεργες ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων", και είναι ένας μικρός θησαυρός από ιδιότητες.)

Το βιβλίο αυτό μπορείτε να το κατεβάσετε δωρεάν από εδώ.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Γνωστού Θεωρήματος του τριγώνου.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β5 και ζητώ την απόδειξή της και τα σχόλιά σας:

Επέκταση γνωστού Θεωρήματος.
Β5. Σε κάθε πεντάγωνο, του οποίου τα τέσσερα ύψη συντρέχουν, στο ίδιο σημείο συντρέχει και το πέμπτο ύψος του.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β5.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
, Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 6, Σελίδα βιβλίου 302 ψηφιακή 308, Πρόταση 6i(207),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 349, ψηφιακή 373, παράγραφος 3α.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Γενίκευση Γνωστών Προτάσεων.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β6 και ζητώ την απόδειξή της και τα σχόλιά σας:

Γενίκευση Γνωστών Προτάσεων.
Β6. Κάθε πλήρες τετράπλευρο έχει ίσα τα δύο ζεύγη των διπλών λόγων των αποστάσεών του κάθε άκρου μιας διαγώνιου του, από τις διαδοχικές κορυφές του τετράπλευρου εκείνου που έχει κορυφές τις υπόλοιπες κορυφές του πλ. τετράπλευρου αναφοράς, λαμβανόμενες με την ίδια σειρά.


Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασςης Β6.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
, Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2, Σελίδα βιβλίου 229 ψηφιακή 255, Πρόταση 2δ(8),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 229, ψηφιακή 255, παράγραφος 2δ(8).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.[/color]
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Γνωστής Πρότασης.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β7 και ζητώ την απόδειξή της και τα σχόλιά σας:

Επέκταση Γνωστής Πρότασης.
Β7. Αν σε εξάγωνο κάθε μια από δύο διαγώνιές του περνούν από δύο αντίστοιχες τομές απέναντι πλευρών του, τότε και η Τρίτη διαγώνιός του περνά από την τομή των δύο υπολοίπων απέναντι πλευρών του.

Δύο δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html