ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

[ΝΙΚΟΣ]

ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας, φίλοι μου.
Σ’ αυτό εδώ τον χώρο, θα σας παρουσιάζουμε στο εξής, ενδιαφέρουσες, κατά την γνώμη μας πρωτοεμφανιζόμενες Γενικεύσεις, Επεκτάσεις, Αποδείξεις γνωστών Προτάσεων - Προβλήματα- γ.τ. Γεωμετρίας, τις οποίες έχουμε επινοήσει κατά το παρελθόν και τις οποίες δεν είχαμε συναντήσει μέχρι τότε, στη γνωστή μας βιβλιογραφία,άσχετα αν εκ των υστέρων έχουμε συναντήσει κάποιες απ’ αυτές. .

Για όλα αυτά θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριένα αν τις έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνεxε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.

Εξυπακούεται ότι, οι παραπάνω Προτάσεις - Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, μπορεί να είναι πολύ δύσκολα μέχρι και πολύ απλά.

Στόχος μας είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσουμε στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες Γενικεύσεις, Επεκτάσεις, Αποδείξεις γνωστών Προτάσεων -Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, μπορέσουμε και λιγότερο η συμμμετοχή.
Οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δίνουν τις δικές τους Επεκτάσεις- Γενικεύσεις- Αποδείξεις και τα δικά τους σχόλια.

Αγαπητοί φίλοι σημειώνω εδώ ότι καλό είναι να γνωρίζετε ότι όπου, στα κείμενά μου που ακολουθούν, υπάρχουν οι παρακάτω μορφές συμβολισμών:
1α(ν), 1β(ν), 1γ(ν), 1δ(ν), 1ε(ν), 1ζ(ν), 2α(ν), 2β(ν), 2γ(ν), 2δ(ν), 2ε(ν), 2ζ(ν), 4 η(ν). 5θ(ν), 6ι(ν), 7ι(ν), 8ι(ν), 9ι(ν). 10ι(ν). 11(ν), 12(ν) (Όπου ν=1, 2, 3, 4, 5,……),
σημαίνει ότι αυτοί αποτελούν νέες Προτάσεις- Προβλήματα - γ.τ, κτλ. του γράφοντος, τις οποίες πρωτοεμφάνισα στα βιβλία μου ¨Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας¨, κτλ, αποτελούν δε μέρος από τις 4.500 περίπου που έχω επινοήσει κατά το παρελθόν.

Μετά τα παραπάνω, κάνουμε την αρχή με την παρακάτω, Γενίκευση 1δ(1), της γνωστής μας Πρότασης 1β(2) (Θεώρημα Νεύτωνα):
1δ(1). «Στα πολικά αντίστροφα (Αντίστοιχα) πολύπλευρα, με άρτιο αριθμό πλευρών, αν οι κύριες διαγώνιες του εγγεγραμμένου τους συντρέχουν, τότε στο ίδιο σημείο συντρέχουν και οι κύριες διαγώνιες του περιγεγραμμένου τους».

Αγαπητοί φίλοι, για την παραπάνω Πρόταση, περιμένουμε τις απαντήσεις σας, πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα.
Δική μας απόδειξη θα δοθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Καλή αρχή.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=112&t=4477

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της Γενίκευσης 1δ(1).

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 1>
Σελίδα 255 >
Πρόταση 1δ(1),

Ή, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Άρθρα γεωμετρία τόμο1, Περιεχόμενα >
κλικ αύξ. Αριθ. 8, ή Σελίδα 124,
Πρόταση 13.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=62&t=51135&start=80

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση του Θεωρήματος Euler

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη τη παρακάτω νέα Πρόταση Γεωμετρίας, που αποτελεί επέκταση του Θεωρήματος Euler:

1γ(5). Σε κάθε τρίγωνο οι τρεις ευθείες που η κάθε μια συνδέει μια κορυφή του με το βαρύκεντρο του τριγώνου το οποίο έχει κορυφές τις υπόλοιπες δύο κορυφές του και το ορθόκεντρό του, περνούν από το κέντρο του κύκλου Euler.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=6&t=5323

[Mihalis_Lambrou]

1γ(5). Σε κάθε τρίγωνο οι τρεις ευθείες που η κάθε μια συνδέει μια κορυφή του με το βαρύκεντρο του τριγώνου το οποίο έχει κορυφές τις υπόλοιπες δύο κορυφές του και το ορθόκεντρό του, περνούν από το κέντρο του κύκλου Euler.

Αν διάμεσος του τότε η είναι διάμεσος του , όπου το ορθόκεντρο. Οπότε τυπική ευθεία που περιγράφει η εκφώνηση είναι η (κόκκινη στο σχήμα) όπου το το βαρύκεντρο του και άρα χωρίζει την σε λόγο . Από Θεώρημα Μενελάου στο με διατέμνουσα την έχουμε

, δηλαδή . 'Επεται

.

Aλλά η είναι η ευθεία Euler και ως γνωστόν το κέντρο του κύκλου Euler είναι στο με (Το γεγονός αυτό ισοδυναμεί με την ιδιότητα ότι το είναι το μέσον του και ότι ). Συνεπώς συμπίπτει με το σημείο στην . Τελειώσαμε.

[Mihalis_Lambrou]

Από Θεώρημα Μενελάου ...

.

.
Πιο απλά το παραπάνω από την λύση στο προηγούμενο ποστ, χωρίς χρήση Θεωρήματος Μενελάου. Στην θέση του θα γίνει χρήση του και . Οπότε

, άρα και . Το ζητούμενο έπεται τώρα από το θεώρημα του Θαλή στις παράλληλες

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της Επέκτασης 1γ(5).

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 1, Σελίδα βιβλίου 223 ψηφιακή 253, Πρόταση 1γ(5),

Ή, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Περιεχόμενα, κλικ αύξ. Αριθ. 25, ή Σελίδα άρθρου 329 ψηφιακή 353, παράγ. 3α, θεώρ.1, ή σελ.άρθρου 329 ψηφιακή 353, , παράγ. 3α, θεώρ.1.


Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=62&t=51135&start=80

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Απόδειξη Θεωρήματος του Νεύτωνα.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω γνωστό Θεώρημα του Νεύτωνα και ζητώ νέες αποδείξεις του και τα σχόλιά σας.
1β(2). Τα πολικά αντίστροφα τετράπλευρα
(αντίστοιχα), έχουν συντρέχουσες διαγώνιες

Δική μου νέα απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674

[Mihalis_Lambrou]

Τα πολικά αντίστροφα τετράπλευρα
(αντίστοιχα), έχουν συντρέχουσες διαγώνιες.

.
Πρώτα απ' όλα ας διατυπώσω το Θεώρημα σε πιο προσιτή γλώσσα καθώς οι πόλοι και πολικές ήσαν κεφάλαιο των Γεωμετριών της εικοσαετίας 1960-1980, αλλά έκτοτε, δυστυχώς, ξεχάστηκαν. Η επαναδιατύπωση είναι:

Έστω εγεγραμμένο τετράπλευρο. Οι εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο στις κορυφές του τετραπλεύρου σχηματίζουν ένα τετράπλευρο Δείξτε οι τέσσερις διαγώνιες των δύο τετραπλεύρων συντρέχουν. (Στο σχήμα είναι το σημείο ).

Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις, οι περισσότερες από τις οποίες στηρίζονται στην θεωρία των πόλων και πολικών ή στην απόρροιά της τα συζηγή αρμονικά σχήματα. Δεν μπαίνω σε τέτοιες αποδείξεις αλλά μπορεί να βρει κανείς έτοιμη την θεωρία σε βιβλία όπως του Μπαρμπαστάθη, Μεγάλη Θεωρητική Γεωμετρία στις σελίδες 288-293.

Έρχομαι σε απευθείας απόδειξη, με βάση κοινά θεωρήματα που διδάσκονται σήμερα στο Λύκειο.

Έστω ότι η διαγώνιος τέμνει την διαγώνιο στο . Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες. Άρα για τα εμβαδά ισχύει



Περιέργως τα ίδια δύο αυτά τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους παραπληρωματικές: Πράγματι είναι που είναι παραπληρωματική της που με την σειρά της είναι ίση με την , όπως θέλαμε. Άρα για τα εμβαδά ισχύει



Από τις έχουμε

, οπότε μετά τις απλοποιήσεις



Mε τον ίδιο ακριβώς τρόπο δείχνουμε ότι αν η διαγώνιος τέμνει την στο , τότε



Αλλά τα δεξιά μέλη των δύο προηγούμενων είναι ίσα διότι και (ιδιότητα της εφαπτομένης). Έπεται ότι και τα αριστερά μέλη είναι ίσα, οπότε



Συνεπώς τα συμπίπτουν, που σημαίνει ότι οι διαγώνιες του μέσα τετραπλεύρου τέμνουν την στο ίδιο σημείο (οι τρεις συντρέχουν στο ). Όμοια και η διαγώνιος διέρχεται από το , και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Κλείνω με το σχόλιο ότι υπάρχουν και άλλες στοιχειώδεις αποδείξεις, αλλά τις αφήνω.

Δεν ξέρω ποια είναι η αρχική απόδειξη του Νεύτωνα, αλλά αξίζει να το ψάξει κανείς.

.

[Mihalis_Lambrou]

Τα πολικά αντίστροφα τετράπλευρα
(αντίστοιχα), έχουν συντρέχουσες διαγώνιες.

Πρώτα απ' όλα ας διατυπώσω το Θεώρημα σε πιο προσιτή γλώσσα καθώς οι πόλοι και πολικές ήσαν κεφάλαιο των Γεωμετριών της εικοσαετίας 1960-1980, αλλά έκτοτε, δυστυχώς, ξεχάστηκαν. Η επαναδιατύπωση είναι:

Έστω εγεγραμμένο τετράπλευρο. Οι εφαπτόμενες στον περιγεγραμμένο κύκλο στις κορυφές του τετραπλεύρου σχηματίζουν ένα τετράπλευρο Δείξτε οι τέσσερις διαγώνιες των δύο τετραπλεύρων συντρέχουν. (Στο σχήμα είναι το σημείο ).

.
Δίνω άλλη μία απόδειξη, σχεδόν μονολεκτική, με χρήση δύο σπουδαίων θεωρημάτων.

Από το Θεώρημα του Εξαγώνου του Pascal εφαρμοσμένο στο το οποίο βλέπουμε ως εκφυλισμένο εξάγωνο όπου οι "πλευρές" του στα και είναι οι εφαπτόμενες στον κύκλο, έχουμε ότι οι απέναντι πλευρές του τέμνονται σε συνευθειακά σημεία, εδώ τα .

Εξετάζουμε τώρα τα τρίγωνα και (κόκκινο και πράσινο αντίστοιχα) των οποίων οι κορυφές βρίσκονται, ανά δύο, στις διαγώνιες . Παρατηρούμε ότι οι ομόλογες πλευρές τους τέμνονται στα συνευθειακά σημεία (για παράδειγμα οι τέμνονται στο , όμοια οι άλλες). Από το αντίστροφο του Θεωρήματος Desargue, οι αποτελούν συγκλίνουσα δέσμη (στο σχήμα συγκλίνουν στο σημείο ). Για παρόμοιο λόγο και η τέταρτη διαγώνιος διέρχεται από το . Τελειώσαμε.

Σχολιάζω ότι μία ακόμα πιο άμεση (και γνωστή) απόδειξη είναι με απευθείας χρήση του Θεωρήματος Brianchon για εξάγωνα όπου το τετράπλευρο λαμβάνεται ως εκφυλισμένο εξάγωνο. Βλέπε π.χ. εδώ.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Το παραπάνω ποστ 1, η δική μου απόδειξη που θα ακολουθήσει και ο 2ος τόμος του βιβλίου μου «Γεωμετρία, Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα 1993", εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1AwKNhB ... g8VYj/view
απαντούν στα αναφερόμενα παραπάνω και όχι μόνο.

Στον 2ο τόμο του βιβλίου μου αυτού ερευνώνται συμπλέγματα πληρών πολικά αντιστρόφων τετράπλευρων τα συμπεράσματα αυτά δίνονται με τη μορφή μεγάλου αριθμού πολύπλοκων Προτάσεων με τις αποδείξεις τους και που στη συνέχεια αναλύονται σε απλές Προτάσεις τις οποίες εμφανίζω και εδώ για να πάρουν μια γεύση οι φίλοι της Γεωμετρίας που δεν έχουν το χρόνο να ασχοληθούν.


Νίκοσς Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Πρωτοεμφανιζόμενη Απόδειξη του Θεωρήματος 1β(2).

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας, Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 1, Σελίδα βιβλίου 163 ψηφιακή 193, Πρόταση 1β(2),

Ή, πιο εύκολα αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα άρθρου 92 ψηφιακή 116, Πρόταση 5 παράγ. 7.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 12&t=10191

[ΝΙΚΟΣ]

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ GERGONNE.
Πρόταση 2δ(1)

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

2δ(1). Τα πολικά αντίστροφα τρίγωνα, είναι ομολογικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=112&t=4477

[Mihalis_Lambrou]

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ GERGONNE.
...

2δ(1). Τα πολικά αντίστροφα τρίγωνα, είναι ομολογικά.

.
Εδώ χρειάζεται μία διευκρίνιση: Ο ορισμός του πολικού αντιστρόφου ένος εγγεγραμμένου πολυγώνου είναι το πολύγωνο που προκύπτει από τις εφαπτόμενες του κύκλου στις κορυφές του πολυγώνου. Για παράδειγμα αυτός είναι ο ορισμός που έχει η Θεωρητική Γεωμετρία του Μπαρμπαστάθη, σελίς 292. Άλλωστε έτσι ακριβώς χρησιμοποιήθηκε στο ποστ #7 και στην απάντηση που έδωσα στο #8.

Με αυτό τον ορισμό το σχήμα που προκύπτει είναι αυτό του Θεωρήματος Gergonne και το αποδεικτέο είναι ακριβώς το Θεώρημα Gergonne (συγκλίνουσες σεβιανές). Μέχρι εδώ όλα καλά, μόνο που ο τίτλος του πόστ μιλάει για ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ GERGONNE. Με άλλα λόγια πρέπει να χρησιμοποιηθεί κάποια γενίκευση του ορισμού των πολικά αντιστρόφων τριγώνων, αλλιώς δεν πρόκειται για πρόταση που γενικεύει το Gergonne.

Θα μπορούσες παρακαλώ να μας πεις ποιον ακριβώς ορισμό πολικού αντιστρόφου ενός τριγώνου χρησιμοποιείς;

(Υπόψη ότι ξέρω την απάντηση από την ξένη βιβλιογραφία αλλά δεν βρίσκω παραπομπή στην Ελληνική. Και επειδή ο φάκελος προορίζεται για μαθητές Β' Λυκείου, είμαι βέβαιος ότι οι μαθητές αυτοί δεν έχουν δει πουθενά τον γενικότερο ορισμό. Εδώ που τα λέμε, αμφιβάλλω αν έχουν δει έστω τον κλασικό. Μπορείς να τους διευκολύνεις; Αλλιώς μην προσδοκούμε να ασχοληθούν με την άσκηση.)

[ΝΙΚΟΣ]

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ GERGONNE.
...

2δ(1). Τα πολικά αντίστροφα τρίγωνα, είναι ομολογικά.

.
Εδώ χρειάζεται μία διευκρίνιση: Ο ορισμός του πολικού αντιστρόφου ένος εγγεγραμμένου πολυγώνου είναι το πολύγωνο που προκύπτει από τις εφαπτόμενες του κύκλου στις κορυφές του πολυγώνου. Για παράδειγμα αυτός είναι ο ορισμός που έχει η Θεωρητική Γεωμετρία του Μπαρμπαστάθη, σελίς 292. Άλλωστε έτσι ακριβώς χρησιμοποιήθηκε στο ποστ #7 και στην απάντηση που έδωσα στο #8.

Με αυτό τον ορισμό το σχήμα που προκύπτει είναι αυτό του Θεωρήματος Gergonne και το αποδεικτέο είναι ακριβώς το Θεώρημα Gergonne (συγκλίνουσες σεβιανές). Μέχρι εδώ όλα καλά, μόνο που ο τίτλος του πόστ μιλάει για ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ GERGONNE. Με άλλα λόγια πρέπει να χρησιμοποιηθεί κάποια γενίκευση του ορισμού των πολικά αντιστρόφων τριγώνων, αλλιώς δεν πρόκειται για πρόταση που γενικεύει το Gergonne.

Θα μπορούσες παρακαλώ να μας πεις ποιον ακριβώς ορισμό πολικού αντιστρόφου ενός τριγώνου χρησιμοποιείς;

(Υπόψη ότι ξέρω την απάντηση από την ξένη βιβλιογραφία αλλά δεν βρίσκω παραπομπή στην Ελληνική. Και επειδή ο φάκελος προορίζεται για μαθητές Β' Λυκείου, είμαι βέβαιος ότι οι μαθητές αυτοί δεν έχουν δει πουθενά τον γενικότερο ορισμό. Εδώ που τα λέμε, αμφιβάλλω αν έχουν δει έστω τον κλασικό. Μπορείς να τους διευκολύνεις; Αλλιώς μην προσδοκούμε να ασχοληθούν με την άσκηση.)

Ευχαρίστως θα σας δώσω τον Γενικό ορισμό των πολικά αντιστρόφων τριγώνων.

Επειδή δε γνωρίζω Αγγλικά και δεν έχω πρόσβαση σε ξένη βιβλιογραφία αναζητώ και μελετώ μόνο Ελληνικά βιβλία Γεωμετρίας.

Έτσι και για το θέμα αυτό και εγώ τη Γεωμετρία Χ. Μπαρπαστάθη είχα υπόψη μου, ώσπου σε κάποια στιγμή έρευνας
παρατήρησα ότι οι πλευρές ενός περιγεγραμμένου σε κύκλο τριγώνου αποτελούν τις πολικές των κορυφών του αντίστοιχού του εγγεγραμμένου τριγώνου στις οποίες εφάπτονται. Αλλά αυτό αποτελεί μια ειδική περίπτωση πόλου και πολικής, Τι συμβαίνει όμως στην γενική περίπτωση, που οι κορυφές ενός τριγώνου αποτελούν τους πόλους των αντιστοίχων πλευρών ενός άλλου τριγώνου; αληθεύει και τότε ένα ανάλογο Θεώρημα με εκείνο του Gergonne; Έτσι μου προέκυψε η γενική Πρόταση:
2δ(1). Τα πολικά αντίστροφα τρίγωνα, είναι ομολογικά.

Παράλληλα διατύπωσα και τον γενικό ορισμό των πολικά αντιστρόφων τριγώνων:
Γενικά πολικά αντίστροφα τρίγωνα, είναι εκείνα τα ζεύγη τριγώνων, των οποίων οι κορυφές του καθενός τριγώνου από το ζεύγος των τριγώνων αυτών, αποτελούν τους πόλους των αντιστοίχων πλευρών του άλλου τριγώνου.

Παρατηρήσεις.
α. Μετά τα παραπάνω είναι φανερό ότι στον γενικό ορισμό αυτό συμπεριλαμβάνεται και ο παραπάνω της ειδικής περίπτωσης που συνήθως χρησιμοποιούμε.
β. Εγώ συνήθως ονομάζω τα τρίγωνα της ειδικής περίπτωσης «ΑΝΤΊΣΤΟΙΧΑ». Βλέπε σελίδα Δ8 βιβλίου, παράγ.22, εδώ: https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
γ. Πίστευα ότι για λόγους εκπαιδευτικούς, θα μπορούσαν έστω μερικοί, με τον παραπάνω συλλογισμό, να επινοούσαν και τον ορισμό αυτό, αφού τους δίνεται το έναυσμα με την παραπάνω Πρόταση .
δ. Η κατασκευή ενός τέτοιου ζεύγους τριγώνων νομίζω ότι είναι εύκολη. Αν χρειαστεί θα την περιγράψω.
ε. Ανάλογος γενικός ορισμός ισχύει και για τα πολύγωνα. Όχι όμως και η Πρόταση.


Νίκος Κυριαζής

[Mihalis_Lambrou]

Θα ήθελα να σχολιάσω μερικά θέματα, αρχίζοντας από το

γ. Πίστευα ότι για λόγους εκπαιδευτικούς, θα μπορούσαν έστω μερικοί, με τον παραπάνω συλλογισμό, να επινοούσαν και τον ορισμό αυτό, αφού τους δίνεται το έναυσμα με την παραπάνω Πρόταση .

Αυτό είναι πρωτάκουστο. Ζητάμε να αποδειχθεί μία ιδιότητα για ένα αντικείμενο που δεν έχουμε ορίσει και το οποίο δεν ορίζεται πουθενά. Αντιθέτως ομολογείται

β. Εγώ συνήθως ονομάζω τα τρίγωνα της ειδικής περίπτωσης «ΑΝΤΊΣΤΟΙΧΑ». Βλέπε σελίδα Δ8 βιβλίου, παράγ.22,

που βέβαια αν κοιτάξει κανείς εκεί (που είναι βιβλίο του ιδίου του συγγραφέα) θα δει τον συνήθη ορισμό (όχι τον γενικευμένο) ο οποίος άλλωστε υπάρχει και στην υπόλοιπη βιβλιογραφία όπως π.χ. στον Μπαρμαστάθη, Θεωρητική Γεωμετρία. Το να πρέπει να μαντέψουμε εμείς τον αδήλωτο ορισμό που έχει ο συγγραφέας στον νου του είναι τουλάχιστον ανορθόδοξο. Και δεδομένου ότι ο ανυποψίαστος αναγνώστης δεν γνωρίζει ότι ο ορισμός που υιοθετεί η άσκηση είναι αδήλωτος, θα ψάχνει μάταια στην βιβλιογραφία να τον εντοπίσει, ποιος ξέρει για πόσες ώρες.

Και ένα δεύτερο σημείο το οποίο, σε εμένα τουλάχιστον, προξενεί απορίες. Διαβάζουμε

Επειδή δε γνωρίζω Αγγλικά και δεν έχω πρόσβαση σε ξένη βιβλιογραφία αναζητώ και μελετώ μόνο Ελληνικά βιβλία Γεωμετρίας.

Δεν υπάρχει απολύτως κανένα πρόβλημα να μην έχει κανείς πρόσβαση στην ξένη βιβλιογραφία. Είναι απολύτως φυσιολογικό. Αυτό που με ξενίζει είναι ότι στο παρόν θρεντ και σε πάμπολλα άλλα από την ίδια πηγή και σε όλα τα βιβλία του συγγραφέα κυριαρχεί η λέξη "πρωτοεμφανιζόμενα". Να όμως που ο ίδιος τα έχω δει (τουλάχιστον τα περισσότερα) σε πάμπολλα ευρέως κυκλοφορούντα βιβλία τουλάχιστον 100 ετών. Κατ' εμέ, δεν έχει νόημα να ονομάζουμε πρωτοεμφανιζόμενα διάφορα γνωστότατα και παλαιότατα θεωρήματα (ωραιότατα, δεν αντιλέγω) χωρίς να κοιτάξουμε την βιβλιογραφία. Και αυτό για να μην αποπροσανατολίσουμε τον ανυποψίαστο αναγνώστη.

Κλείνω επαναλαμβάνοντας ένα σχόλιο που έγραψα στο προηγούμενό μου ποστ

(... Και επειδή ο φάκελος προορίζεται για μαθητές Β' Λυκείου, είμαι βέβαιος ότι οι μαθητές αυτοί δεν έχουν δει πουθενά τον γενικότερο ορισμό...Αλλιώς μην προσδοκούμε να ασχοληθούν με την άσκηση.)

Πού να φανταστώ ότι οι μαθητές δεν έχουν δει τον ορισμό διότι δεν υπάρχει και όχι γιατί βρίσκεται σε βιβλία έξω από την βιβλιοθήκη τους.

Τέλος, έχω λύσει την άσκηση (με τον γενικότερο ορισμό) και ίσως την γράψω αν και έχω μόνο μικρό κίνητρο αφού ελάχιστοι διαβάζουν το θρεντ. Για την ώρα αναφέρω ότι η λύση είναι μέσω ορθοπολικών τριγώνων (που αμφιβάλλω αν τα έχει δει κανείς πέρα από τους ειδικούς στην Γεωμετρία, πάντως όχι μαθητές της Β' Λυκείου).

[ΝΙΚΟΣ]

Πρωτοεμφανιζόμενη Απόδειξη του Θεωρήματος 2δ(1).

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 210 ψηφιακή 236, Πρόταση 2δ(1),

Ή, πιο εύκολα αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα βιβλίου 27 ψηφιακή 51, Πρόταση 4 παράγ. 5.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

[ΝΙΚΟΣ]

Θα ήθελα να σχολιάσω μερικά θέματα, αρχίζοντας από το

γ. Πίστευα ότι για λόγους εκπαιδευτικούς, θα μπορούσαν έστω μερικοί, με τον παραπάνω συλλογισμό, να επινοούσαν και τον ορισμό αυτό, αφού τους δίνεται το έναυσμα με την παραπάνω Πρόταση .

Αυτό είναι πρωτάκουστο. Ζητάμε να αποδειχθεί μία ιδιότητα για ένα αντικείμενο που δεν έχουμε ορίσει και το οποίο δεν ορίζεται πουθενά. Αντιθέτως ομολογείται

β. Εγώ συνήθως ονομάζω τα τρίγωνα της ειδικής περίπτωσης «ΑΝΤΊΣΤΟΙΧΑ». Βλέπε σελίδα Δ8 βιβλίου, παράγ.22,

που βέβαια αν κοιτάξει κανείς εκεί (που είναι βιβλίο του ιδίου του συγγραφέα) θα δει τον συνήθη ορισμό (όχι τον γενικευμένο) ο οποίος άλλωστε υπάρχει και στην υπόλοιπη βιβλιογραφία όπως π.χ. στον Μπαρμαστάθη, Θεωρητική Γεωμετρία. Το να πρέπει να μαντέψουμε εμείς τον αδήλωτο ορισμό που έχει ο συγγραφέας στον νου του είναι τουλάχιστον ανορθόδοξο. Και δεδομένου ότι ο ανυποψίαστος αναγνώστης δεν γνωρίζει ότι ο ορισμός που υιοθετεί η άσκηση είναι αδήλωτος, θα ψάχνει μάταια στην βιβλιογραφία να τον εντοπίσει, ποιος ξέρει για πόσες ώρες.

Και ένα δεύτερο σημείο το οποίο, σε εμένα τουλάχιστον, προξενεί απορίες. Διαβάζουμε

Επειδή δε γνωρίζω Αγγλικά και δεν έχω πρόσβαση σε ξένη βιβλιογραφία αναζητώ και μελετώ μόνο Ελληνικά βιβλία Γεωμετρίας.

Δεν υπάρχει απολύτως κανένα πρόβλημα να μην έχει κανείς πρόσβαση στην ξένη βιβλιογραφία. Είναι απολύτως φυσιολογικό. Αυτό που με ξενίζει είναι ότι στο παρόν θρεντ και σε πάμπολλα άλλα από την ίδια πηγή και σε όλα τα βιβλία του συγγραφέα κυριαρχεί η λέξη "πρωτοεμφανιζόμενα". Να όμως που ο ίδιος τα έχω δει (τουλάχιστον τα περισσότερα) σε πάμπολλα ευρέως κυκλοφορούντα βιβλία τουλάχιστον 100 ετών. Κατ' εμέ, δεν έχει νόημα να ονομάζουμε πρωτοεμφανιζόμενα διάφορα γνωστότατα και παλαιότατα θεωρήματα (ωραιότατα, δεν αντιλέγω) χωρίς να κοιτάξουμε την βιβλιογραφία. Και αυτό για να μην αποπροσανατολίσουμε τον ανυποψίαστο αναγνώστη.

Κλείνω επαναλαμβάνοντας ένα σχόλιο που έγραψα στο προηγούμενό μου ποστ

(... Και επειδή ο φάκελος προορίζεται για μαθητές Β' Λυκείου, είμαι βέβαιος ότι οι μαθητές αυτοί δεν έχουν δει πουθενά τον γενικότερο ορισμό...Αλλιώς μην προσδοκούμε να ασχοληθούν με την άσκηση.)

Πού να φανταστώ ότι οι μαθητές δεν έχουν δει τον ορισμό διότι δεν υπάρχει και όχι γιατί βρίσκεται σε βιβλία έξω από την βιβλιοθήκη τους.

Τέλος, έχω λύσει την άσκηση (με τον γενικότερο ορισμό) και ίσως την γράψω αν και έχω μόνο μικρό κίνητρο αφού ελάχιστοι διαβάζουν το θρεντ. Για την ώρα αναφέρω ότι η λύση είναι μέσω ορθοπολικών τριγώνων (που αμφιβάλλω αν τα έχει δει κανείς πέρα από τους ειδικούς στην Γεωμετρία, πάντως όχι μαθητές της Β' Λυκείου).

Απάντησα χθες εδώ.


Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Θεωρήματος

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη τη παρακάτω νέα Πρόταση Γεωμετρίας, που αποτελεί επέκταση Θεωρήματος :

Β1. Σε κάθε τρίγωνο, οι έξι τομές των μεσοκαθέτων στις διχοτόμους του, με τις πλευρές του τριγώνου, αποτελούν τις κορυφές δύο τριγώνων, ομολογικών με το τρίγωνο αναφοράς.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
]“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
viewtopic.php?f=6&t=5323

[grigkost]

Επέκταση Θεωρήματος

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη τη παρακάτω νέα Πρόταση Γεωμετρίας, που αποτελεί επέκταση Θεωρήματος :

Β1. Σε κάθε τρίγωνο, οι έξι τομές των μεσοκαθέτων στις διχοτόμους του, με τις πλευρές του τριγώνου, αποτελούν τις κορυφές δύο τριγώνων, ομολογικών με το τρίγωνο αναφοράς.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
]“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
viewtopic.php?f=6&t=5323

Χαίρετε! Με κάθε καλή πρόθεση, σας ερωτώ:
Έχετε την εντύπωση ότι τα μέλη του mathematica.gr έχουν συλλήβδην σοβαρό πρόβλημα όρασης, ώστε να απαιτείται οι αναρτήσεις σας να είναι με τεράστια γράμματα;

[ΝΙΚΟΣ]

Επέκταση Θεωρήματος

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για απόδειξη τη παρακάτω νέα Πρόταση Γεωμετρίας, που αποτελεί επέκταση Θεωρήματος :

Β1. Σε κάθε τρίγωνο, οι έξι τομές των μεσοκαθέτων στις διχοτόμους του, με τις πλευρές του τριγώνου, αποτελούν τις κορυφές δύο τριγώνων, ομολογικών με το τρίγωνο αναφοράς.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
]“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
viewtopic.php?f=6&t=5323

Χαίρετε! Με κάθε καλή πρόθεση, σας ερωτώ:
Έχετε την εντύπωση ότι τα μέλη του mathematica.gr έχουν συλλήβδην σοβαρό πρόβλημα όρασης, ώστε να απαιτείται οι αναρτήσεις σας να είναι με τεράστια γράμματα;

Σας απαντώ με αγάπη, εκτίμηση και ειλικρίνεια: ΟΧI.
Αντίθετα έχω εγώ πρόβλημα οράσεως λόγω ηλικίας. Εδώ βέβαια μου προέκυψαν πολύ μεγάλα γράμματα παρά την θέλησή μου και δε μου ήταν δυνατό τεχνικά να τα μικρύνω.

Συγνώμη για το πρόβλημα.


Με αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής