Το πρώτο των ..μάγων δώρο!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.Με αφορμή την χριστουγεννιάτικη του Μιχάλη!

Το οξυγώνιο τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο (O,r)

. Η διάμετρος

τέμνει την

στο

.

Αν ισχύουν AE=AC

και $A \hat{E}C=3B \hat{C} D$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{ED}{OE}$

: 26-12 Το πρώτο των μάγων δώρο.png (412.09 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Δεκ 26, 2024 9:17 am Χαιρετώ.Με αφορμή την χριστουγεννιάτικη του Μιχάλη!

Το οξυγώνιο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο . Η διάμετρος τέμνει την στο .

Αν ισχύουν και $A \hat{E}C=3B \hat{C} D$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{ED}{OE}$

26-12 Το πρώτο των μάγων δώρο.png

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Από άθροισμα γωνιών τριγώνου στο προκύπτει $\theta=18^o=E\widehat AO.$ Νόμος ημιτόνων στο

: Το πρώτο δώρο.png (17.57 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές

$\displaystyle \frac{r}{x} = \frac{{\sin 54^\circ }}{{\sin 18^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{r - x}}{x} = \frac{{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ }}{{\sin 18^\circ }} = 2\cos 36^\circ$

Άρα, $\boxed{\dfrac{ED}{OE}=\frac{\sqrt 5+1}{2}=\phi}$

STOPJOHN · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Δεκ 26, 2024 9:17 am Χαιρετώ.Με αφορμή την χριστουγεννιάτικη του Μιχάλη!

Το οξυγώνιο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο . Η διάμετρος τέμνει την στο .

Αν ισχύουν και $A \hat{E}C=3B \hat{C} D$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{ED}{OE}$

26-12 Το πρώτο των μάγων δώρο.png

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Για τις γωνίες
$\hat{ACE}=\hat{DBA}=\hat{AEC}=3\theta ,\hat{DEB}=3\theta ,DB=DE=x,$

Aπό Π.Θ στο τρίγωνο

$BC^{2}=3r^{2}-x^{2}+2rx,(1),AE.EB=r^{2}-x^{2}\Rightarrow EB^{2}=\dfrac{(r-x)^{2}(r+x)}{r},(2)$

Από βασική ασκηση στο τρίγωνο
$EBC,\hat{EBC}=2\hat{ECB}\Leftrightarrow EC^{2}=EB^{2}+EB.BC,(3), (1) ,(2),(3)\Rightarrow x^{2}(3r-x)=r(r-x)^{2}\Rightarrow 3t-1=t(t-1)^{2},t=\dfrac{r}{x}, t^{2} -3t+1=0,t=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},t=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{ED}{OE}=t-1=\Phi =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Το πρώτο των ..μάγων δώρο!

Το πρώτο των ..μάγων δώρο!

Re: Το πρώτο των ..μάγων δώρο!

Re: Το πρώτο των ..μάγων δώρο!

Re: Το πρώτο των ..μάγων δώρο!

Μέλη σε σύνδεση