Θέμα Εξετάσεων Α.Ε.Ι. 1950

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2568
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Θέμα Εξετάσεων Α.Ε.Ι. 1950

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιουν 10, 2010 6:36 pm

Δίδεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Να βρεθεί σε μια από τις πλευρές του σημείο Μ τέτοιο ώστε η
ΑΜ να διαιρεί αυτό σε δύο μέρη από τα οποία το ένα είναι τριπλάσιο του άλλου και να υπολογισθεί
η ΑΜ συναρτήσει της πλευράς a του εξαγώνου.
Πηγή: Α. Σκιαδάς, Γεωμετρία Β' Λυκείου, Gutenberg, 1983, σελ. 337.
Φιλικά,

Αχιλλέας


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Θέμα Εξετάσεων Α.Ε.Ι. 1950

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Πέμ Ιουν 10, 2010 7:37 pm

Καλησπέρα , μια αντιμετώπιση

\displaystyle{ 
{\rm E}\iota \nu \alpha \iota \,\,\,({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = (\Gamma {\rm K}{\rm A}) = (\Gamma {\rm K}\Delta )\,\,\,\delta \eta \lambda \alpha \delta \eta \,\,\,({\rm A}\Gamma \Delta ) = 2({\rm A}{\rm B}\Gamma )\,. 
} \displaystyle{ 
{\rm E}\pi \iota \sigma \eta \varsigma \,\,\,({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = ({\rm A}{\rm Z}{\rm E})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({\rm A}\Gamma \Delta ) = ({\rm A}\Delta {\rm E})\,\,.}

Έστω Θ το μέσο του ΔΕ τότε Μ το μέσο του ΘΕ.(Μπορούμε να θεωρήσουμε το Μ αντίστοιχα και στην ΓΔ.) Πράγματι

\displaystyle{ 
({\rm A}{\rm M}{\rm E}{\rm Z}{\rm A}) = \frac{1}{4}({\rm A}\Gamma \Delta ) + ({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{3}{2}({\rm A}{\rm B}\Gamma )\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,} \displaystyle{ 
({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm M}{\rm A}) = ({\rm A}{\rm B}\Gamma ) + \frac{7}{4}({\rm A}\Gamma \Delta ) = \frac{9}{2}({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = 3({\rm A}{\rm M}{\rm E}{\rm Z}{\rm A})}.

\displaystyle{ 
{\rm E}\pi \iota \sigma \eta \varsigma :\,\,{\rm A}{\rm E} = R\sqrt 3  = a\sqrt 3 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm M}{\rm E} = \frac{\alpha }{4}. 
} \displaystyle{ 
{\rm A}\pi o\,\,\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,{\rm A}{\rm M}{\rm E}\,\,{\rm A}{\rm M}^2  = {\rm A}{\rm E}^2  + {\rm M}{\rm E}^2  \Rightarrow {\rm A}{\rm M}^2  = \frac{{49\alpha ^2 }}{{16}} \Rightarrow {\rm A}{\rm M} = \frac{7}{4}\alpha }

Γιώργος
exagono.png
exagono.png (29.8 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3690
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Θέμα Εξετάσεων Α.Ε.Ι. 1950

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Πέμ Ιουν 10, 2010 7:38 pm

achilleas έγραψε:Δίδεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Να βρεθεί σε μια από τις πλευρές του σημείο Μ τέτοιο ώστε η
ΑΜ να διαιρεί αυτό σε δύο μέρη από τα οποία το ένα είναι τριπλάσιο του άλλου και να υπολογισθεί
η ΑΜ συναρτήσει της πλευράς a του εξαγώνου.
Αχιλλέας
έστω E_1,E_2 τα δύο εμβαδά με E_2=3E_1 και E_{oliko}=6 \frac{a^2 \sqrt 3 }{4},τότε E_1=\frac{6 a^2\sqrt 3}{16}

(AZE)=\frac{a^2\sqrt 3}{4}<E_1<(AZED),άρα το Μ θα βρίσκεται στην ΕΔ

E_1=(AZE)+(AEM)\longrightarrow EM=\frac{a}{4}

AM^2=AE^2+EM^2\longrightarrow AM=\frac{7a}{4}

το σχήμα το έδωσε ο Γιώργος

... :clap2: Γιώργο,το γλύτωσα :)


Φωτεινή Καλδή
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2568
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Θέμα Εξετάσεων Α.Ε.Ι. 1950

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιουν 10, 2010 9:41 pm

Ευχαριστώ το Γιώργο και τη Φωτεινή για τις λύσεις τους!

Αχιλλέας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης