Ισεμβαδικά τερτίπια

#1

: Ισεμβαδικά τερτίπια.png (7.54 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD

και ένα σημείο

της πλευράς

ώστε $SC=k\cdot SD, k>1.$ Από το

φέρνουμε ευθεία που τέμνει τις AB, AD

στα

αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το

συναρτήσει του

και της

πλευράς AB=a,

αν γνωρίζουμε ότι (APT)=(ABCD).

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 08, 2025 1:23 pm
Ισεμβαδικά τερτίπια.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο και ένα σημείο της πλευράς ώστε $SC=k\cdot SD, k>1.$ Από το

φέρνουμε ευθεία που τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το συναρτήσει του και της

πλευράς αν γνωρίζουμε ότι

Έστω

το σημείο τομής των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP$ . Θέτω $DS = x\,\,,\,\,SC = kx\,\,\,\,,\,\,k > 1\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BP = y$ . Για τα εμβαδά θέτω :

$\left( {TDS} \right) = X\,\,,\,\,\left( {SJC} \right) = Y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {PJB} \right) = Z$ . Από την ισότητα εμβαδών που δόθηκε προκύπτει ότι: $X + Z = Y\,\,\left( 1 \right)$

: Ισεμβαδικά τερτίπια.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Τα $\vartriangle TDS\,\,\,,\,\,\vartriangle JCS\,\,,\,\,\vartriangle JBP$ είναι όμοια ανά δύο κι έτσι ταυτόχρονα ισχύει :

$\left\{ \begin{gathered} \frac{X}{Y} = \frac{1}{{{k^2}}} \hfill \\ \frac{Z}{Y} = \frac{{{y^2}}}{{{k^2}{x^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Επειδή $a = x + kx \Rightarrow x = \dfrac{{k + 1}}{a}\,\,\left( {\, * } \right)$ . Προσθέτω κατά μέλη τις δύο στο άγκιστρο σχέσεις και λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( {\, * } \right)$ , έχω :

$\dfrac{1}{{{k^2}}}\left( {1 + \dfrac{{{y^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}}}} \right) = 1$ .

Η σχέση αυτή αν λυθεί ως προς

δίδει : $y = a\sqrt {\dfrac{{k - 1}}{{k + 1}}}$ που είναι αυτή που θέλω.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα σε όλους!
Βρήκα (χθες βράδυ, αλλά ..αργότερα από τον αγαπητό Νίκο) τη σχέση $BP = a\sqrt {\dfrac{{k - 1}}{{k + 1}}}$ .

Μικρή συνεισφορά από μένα μια κατασκευή της ευθείας PST

. Στο τμήμα

παίρνουμε

.

Προκύπτει η ισότητα $BP^2=AB \cdot CN$ (*)

που σημαίνει ότι το

κατασκευάζεται ως μέσος ανάλογος των γνωστών

και

.

(*) Αν ζητηθεί , ευχαρίστως να δώσω την απόδειξη της ως άνω σχέσης. Φιλικά, Γιώργος.

Ισεμβαδικά τερτίπια

Ισεμβαδικά τερτίπια

Re: Ισεμβαδικά τερτίπια

Re: Ισεμβαδικά τερτίπια

Μέλη σε σύνδεση