Σταθερό γινόμενο

KARKAR · #1

: Ισοσκελές τραπέζιο.png (12.69 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές

$\bigstar$ Σε δοθέντα κύκλο περιγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις AB , CD

.

Δείξτε ότι το γινόμενο : $AB \cdot CD$ , είναι σταθερό .

duamba · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 6:46 pm Σε δοθέντα κύκλο περιγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις .
Δείξτε ότι το γινόμενο : $AB \cdot CD$ , είναι σταθερό .

Από το κέντρο του κύκλου

φέρνω τις

ακτίνες στα εφαπτόμενα σημεία.
Τα τμήματα εκατέρωθεν των κορυφών του τραπεζίου έως τα σημεία επαφής με τον κύκλο είναι ίσα.
Έχω

όμοια εγγράψιμα τετράπλευρα (λόγω αντικριστών ορθών γωνιών), και ανά δύο ίσα.

Θέτω ακτίνα κύκλου =

και έχω
$\displaystyle{\frac{a}{r} = \frac{r}{A} \Leftrightarrow a \cdot A = r^2 \Leftrightarrow 2\cdot a \cdot 2 \cdot A = 4r^2 \Leftrightarrow}$

$\boxed{AB \cdot CD = 4r^2}$

: statherogino.png (25.95 KiB) Προβλήθηκε 1034 φορές

edit: Διόρθωση αποτελέσματος χορηγία του KARKAR

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Μαρ 15, 2025 6:46 pm Ισοσκελές τραπέζιο.png $\bigstar$ Σε δοθέντα κύκλο περιγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις .

Δείξτε ότι το γινόμενο : $AB \cdot CD$ , είναι σταθερό .

Θέτω

οπότε

Υπολογίζοντας το

με Πυθαγόρειο έχω:

: Σταθερό γινόμενο.KARKAR.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές

$\displaystyle 4{r^2} + {\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ab=4r^2}$

KARKAR · #4

: Άλλη εκδοχή.png (17.9 KiB) Προβλήθηκε 930 φορές

Δημοφιλέστερη εκδοχή της άσκησης : Να δειχθεί ότι το γινόμενο : $AD\cdot BC$ είναι σταθερό .

Πράγματι : $AD\cdot BC=DS\cdot SC=OS^2=r^2$ ( από το ορθογώνιο OCD

) .

Σταθερό γινόμενο

Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση