Τετράπλευρο προς τρίγωνο

#1

: Τετράπλευρο προς Τρίγωνο.png (9.14 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές

Στις πλευρές OX, OY

ορθής γωνίας θεωρώ τα σημεία A, C

και

αντίστοιχα, ώστε OA=OB=a

και

Να βρείτε το

αν είναι γνωστό ότι $\displaystyle \frac{{(OASB)}}{{(SCD)}} = \frac{1}{3}$

Dimessi · #2

$\displaystyle \frac{\left ( OASB \right )}{\left ( OAD \right )}=1-\frac{\left ( DSB \right )}{\left ( DSO \right )}\cdot \frac{\left ( DSO \right )}{\left ( OAD \right )}=1-\frac{DB}{DO}\cdot \frac{DS}{DA}=1-\frac{k-1}{k}\cdot \frac{DS}{DA}\left ( 1 \right ).$
Από το Θεώρημα του Μενέλαου στο $\vartriangle DOA$ με διατέμνουσα $\displaystyle \overline{CSB}:\frac{CA}{CO}\cdot \frac{DS}{SA}\cdot \frac{OB}{BD}=1\Rightarrow \frac{SA}{DS}=\frac{k-1}{k}\cdot \frac{1}{k-1}=\frac{1}{k}\Rightarrow \frac{DS}{DA}=\frac{k}{k+1}$
$\displaystyle \overset{(1)}\Rightarrow \boxed{\frac{\left ( OASB \right )}{\left ( OAD \right )}=1-\frac{k-1}{k+1}=\frac{2}{k+1}}$
$\displaystyle \frac{\left (SCD \right )}{\left ( OAD \right )}=\frac{\left ( SCD \right )}{\left ( CDA \right )}\cdot \frac{AC}{AO}=\frac{DS}{DA}\cdot \left ( k-1 \right )=\frac{k\left ( k-1 \right )}{k+1}\Rightarrow \boxed{\frac{\left ( OASB \right )}{\left ( SCD \right )}=\frac{2}{k\left ( k-1 \right )}}$
Εδώ k=3

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 07, 2025 1:22 pm
Τετράπλευρο προς Τρίγωνο.png
Στις πλευρές ορθής γωνίας θεωρώ τα σημεία και αντίστοιχα, ώστε

και Να βρείτε το αν είναι γνωστό ότι $\displaystyle \frac{{(OASB)}}{{(SCD)}} = \frac{1}{3}$

Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα OAD,OBC

είναι ίσα άρα $\hat{ODA}=\hat{BCO},AD=BCSD=SC,SB=SA ,AB//DC,OK\perp DC,DC=\sqrt{2}ka,AB=a\sqrt{2},\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{BS}{SC}\Rightarrow BS=\dfrac{1}{k}SC, (OASB)=\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.LS,(SDC)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}ka.SK, OL=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2},OK=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}ak,LK=OK-OL=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}(k-1), AB//DC,\dfrac{LS}{SK}=\dfrac{LA}{DK}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{1}{k},(1),SL+SK=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}(k-1),(2) (1),(2)\Rightarrow SK=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\dfrac{k(k-1)}{k+1}, \dfrac{1}{3}=\dfrac{(OASB)}{(SDC)}, \dfrac{1}{3}=\dfrac{2k}{k^{2}(k-1)}\Leftrightarrow k^{2}-k-6=0\Leftrightarrow k=3,k=-2,k> 1$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 07, 2025 1:22 pm
Τετράπλευρο προς Τρίγωνο.png
Στις πλευρές ορθής γωνίας θεωρώ τα σημεία και αντίστοιχα, ώστε

και Να βρείτε το αν είναι γνωστό ότι $\displaystyle \frac{{(OASB)}}{{(SCD)}} = \frac{1}{3}$

Προφανώς

και

.Άρα $\dfrac{(OAS)}{(SMD)}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{OS.AS}{SM.SD}= \dfrac{1}{3} (1)$

Αλλά από Van Aubel $\dfrac{OS}{SM}= 2\dfrac{a}{a(k-1)}= \dfrac{2}{k-1}$ και $\dfrac{DS}{SA}= \dfrac{a(k-1)}{a}+1=k$

Άρα η (1)

δίνει εύκολα $\dfrac{2}{k(k-1)}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow k=3$

: Τετράπλευρο προς τρίγωνο.png (31.49 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Τετράπλευρο προς τρίγωνο

Τετράπλευρο προς τρίγωνο

Re: Τετράπλευρο προς τρίγωνο

Re: Τετράπλευρο προς τρίγωνο

Re: Τετράπλευρο προς τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση