Μέγιστη τιμή γινομένου

[george visvikis]

Μέγιστη τιμή γινομένου.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές

Έστω τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου Η κάθετη της διαμέτρου σε σημείο της τέμνει

τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου

24 ώρες μόνο για μαθητές.

[Mihalis_Lambrou]

Μέγιστη τιμή γινομένου.png
Έστω τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου Η κάθετη της διαμέτρου σε σημείο της τέμνει

τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου

Μέγιστη τιμή.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 49 φορές

.
Από τα όμοια τρίγωνα έχουμε . Άρα , που σημαίνει ότι η εύρεση του μεγίστου γινομένου ανάγεται στην εύρεση του μεγίστου γινομένου . Αλλά τα έχουν σταθερό άθροισμα, . Άρα πετυχαίνουμε το μέγιστο όταν , και η τιμή του μεγίστου είναι τότε



Σχόλια.

α) Το ενδιαφέρον είναι ότι η παραπάνω απόδειξη δείχνει πως όταν μεταβάλλεται το αλλά το μένει σταθερό, τότε η τιμή του γινομένου δεν αλλάζει. Αντίθετα., όταν μένει σταθερό το αλλά το μεταβάλλεται, τότε η τιμή του ίδιου γινομένου αλλάζει.

β) Η παραπάνω ισότητα γινομένων μπορεί να μας δώσει (ακόμη) μία απόδειξη ότι τα ύψη τριγώνου (εδώ του ) συγκλίνουν. Πράγματι, φέρνουμε το ύψος . Αν το ύψος το τέμνει στο , τότε όπως είδαμε, ισχύει .(*) Φερνουμε τώρα το τρίτο ύψος και έστω ότι τέμνει το πρώτο στο (βλέπε σχήμα παρακάτω). Από τα παραπάνω έχουμε (**). Αφού τα δεξιά μέλη στις (*), (**) είναι ίσα, έχουμε . Έπεται ότι , δηλαδή τα συμπίπτουν, που σημαίνει ότι τα τρία ύψη τέμνονται σε ένα κοινό σημείο, όπως θέλαμε.
.

[Doloros]

Μέγιστη τιμή γινομένου.png
Έστω τυχόν σημείο ημικυκλίου διαμέτρου Η κάθετη της διαμέτρου σε σημείο της τέμνει

τις στα σημεία αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου

24 ώρες μόνο για μαθητές.

Γράφουμε τον κύκλο , και τέμνει (ακόμα) την ευθεία στο .

Επειδή ( το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο )

και ( το τετράπλευρό είναι εγγεγραμμένο) συνεπώς : .

Μέγιστο γινομένου.png (31.47 KiB) Προβλήθηκε 32 φορές

Διαδοχικά έχουμε: που παρουσιάζει μέγιστο (ως τριώνυμο)

για και είναι