Εύρεση δίεδρης γωνίας

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Να βρείτε τη διεδρη γωνία που σχηματίζουν δύο έδρες κανονικού τετραεδρου.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τετ Σεπ 02, 2026 4:35 pm Να βρείτε τη διεδρη γωνία που σχηματίζουν δύο έδρες κανονικού τετραεδρου.

: Δίεδρη.png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

.
Φέρνουμε την κάθετη

από την κορυφή στην βάση

, η οποία διέρχεται βέβαια από το μέσον της

διότι η έδρα είναι ισόπλευρο τρίγωνο. Μπορούμε να βρούμε το μήκος της

, αλλά δεν θα μας χρειαστεί. Απλά θα χρησιμοποιήσουμε ότι και

DM=h

.

Φέρνουμε το ύψος

του τριγώνου AMD

. Aπό το Θεώρημα των τριών καθέτων, το

είναι το ύψος της Πυραμίδας και άρα η διέδρη που ψάχνουμε είναι η $\theta$ .

Λόγω συμμετρίας, το

βρίσκεται και στις τρεις διαμέσους της βάσης, άρα είναι το κέντρο βάρους της. Έπεται .οτι

MG = \dfrac {1}{3} DM= \dfrac {h}{3}

. Συμπεραίνουμε τώρα ότι

\cos \theta = \dfrac {\dfrac {h}{3}}{h}= \dfrac {1}{3}

, άρα

\boxed {\theta = \arccos \dfrac {1}{3}\approx 70,52^o}

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τετ Σεπ 02, 2026 4:35 pm Να βρείτε τη διεδρη γωνία που σχηματίζουν δύο έδρες κανονικού τετραεδρου.

Έστω

η πλευρά του κανονικού τετραέδρου ABCD.

Το ύψος του τετραέδρου που άγεται από την κορυφή

τέμνει τη βάση στο βαρύκεντρο

Προφανώς,

AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},MG = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}

: Δίεδρη γωνία.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Αναζητούμε τη γωνία $\theta.$ Είναι,

\cos \theta = \frac{{MG}}{{AM}} = \frac{1}{3}

Με πρόλαβε ο Μιχάλης (φαίνεται ότι πληκτρολογούσαμε μαζί). Το αφήνω για τον κόπο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Να ευχαριστήσω τόσο το Μιχάλη Λάμπρου όσο και το Γιώργο Βισβίκη για τον κόπο τους. Επρόκειτο για ένα απλό θέμα, κατάλληλο για ένα παιδί που θέλει να ασχοληθεί με τη Στερεομετρία.

Εύρεση δίεδρης γωνίας

Εύρεση δίεδρης γωνίας

Re: Εύρεση δίεδρης γωνίας

Re: Εύρεση δίεδρης γωνίας

Re: Εύρεση δίεδρης γωνίας

Μέλη σε σύνδεση