Τρίγωνο από προβολές

KARKAR · #1

: Τρίγωνο από προβολές.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

Έστω

τυχόν σημείο του κύκλου : x^2+y^2=9

και

, οι

προβολές του στις ευθείες : y=0 , x=0 , y=2x

αντίστοιχα .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle ABC$ .

β) Ελέγξτε μήπως το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο .

γ) Γιατί οι πλευρές του τριγώνου αυτού έχουν σταθερά μήκη ;

#2

Εδώ η Ευκλείδεια Γεωμετρία ενδείκνυται περισσότερο για όλα τα ερωτήματα.

Το τετράπλευρο OCBS

είναι εγγράψιμο αφού τα σημεία C,B

βλέπουν τη πλευρά

υπό ίσες και μάλιστα ορθές γωνίες. Το τετράπλευρο OBSA

είναι ορθογώνιο ,

άρα εγγράψιμο . Τρία διακεκριμένα σημεία ορίζουν ένα και μοναδικό κύκλο ,

συνεπώς τα σημεία A,O,C,B,S

ανήκουν σε ένα κύκλο που έχει διαμέτρους τις

OS = AB = 3

και κέντρο

το σημείο τομής τους , οπότε έχει ακτίνα $\boxed{r = \frac{3}{2}}$ .

Είναι δε $\widehat {ACB} = 90^\circ$ .

: τρίγωνο απο προβολές_ Ευκλείδεια Λύση.png (34.45 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Αν

το σημείο της ευθείας y = 2x

με

και

η προβολή του στην κάθετη

διάμετρο του κύκλου (O,3)

Τα ορθογώνια τρίγωνα $HOD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CAB$ έχουν ίσες τις

$\widehat {HOD} = \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ , που είναι και σταθερή , άρα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας

$\lambda = \dfrac{{OD}}{{AB}} = \dfrac{{OD}}{{OS}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}$ συνεπώς $\boxed{\dfrac{{(CAB)}}{{(HOD)}} = \dfrac{9}{5} \Rightarrow (CAB) = \dfrac{9}{5}}$ αφού (HOD) = 1

.

Τέλος αφού $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ είναι σταθερή , είναι de ο κύκλος $(k,\dfrac{3}{2})$ σταθερός άρα το

ορθογώνιο τρίγωνο CAB

θα έχει σταθερή τη υποτείνουσά του AB = 3

, τη

πλευρά

σταθερή , αναγκαστικά λόγω του Π. Θ. και τη

σταθερή .

Τρίγωνο από προβολές

Τρίγωνο από προβολές

Re: Τρίγωνο από προβολές

Μέλη σε σύνδεση