Χορδές παραβολής

Έλενα Σάββα · #1

Δείξτε οτι ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της παραβολής $y^{2}=2px$ (1) που περνούν από το (0, 0) είναι επίσης παραβολή, με

εξίσωση $y^{2}=px$ (2).

Αρχικά πήρα δύο τυχαία σημεία πάνω στην παραβολή (1) ,που θα είναι άκρα κάποιας χορδής. Αυτά τα σημεία θα επαληθεύουν την εξίσωση (1). Μετά παίρνω το μέσο της τυχαίας χορδής που πήρα πριν ,το οποίο επαληθεύει την (2). Δυσκολεύομαι όμως να συνδέσω αυτά τα δεδομένα. Είναι σωστά;

#2

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm
Δείξτε οτι ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της παραβολής $y^{2}=2px$ (1) που περνούν από το (0, 0) είναι επίσης παραβολή, με

εξίσωση $y^{2}=px$ (2).

Αρχικά πήρα δύο τυχαία σημεία πάνω στην παραβολή (1) ,που θα είναι άκρα κάποιας χορδής. Αυτά τα σημεία θα επαληθεύουν την εξίσωση (1). Μετά παίρνω το μέσο της τυχαίας χορδής που πήρα πριν ,το οποίο επαληθεύει την (2). Δυσκολεύομαι όμως να συνδέσω αυτά τα δεδομένα. Είναι σωστά;

Δεν θα πάρεις δύο τυχαία σημεία, αλλά ένα. Το άλλο είναι το

Θα δεις ότι τώρα είναι πολύ απλό.

#3

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm
Δείξτε οτι ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της παραβολής $y^{2}=2px$ (1) που περνούν από το (0, 0) είναι επίσης παραβολή, με

εξίσωση $y^{2}=px$ (2).

Αρχικά πήρα δύο τυχαία σημεία πάνω στην παραβολή (1) ,που θα είναι άκρα κάποιας χορδής. Αυτά τα σημεία θα επαληθεύουν την εξίσωση (1). Μετά παίρνω το μέσο της τυχαίας χορδής που πήρα πριν ,το οποίο επαληθεύει την (2). Δυσκολεύομαι όμως να συνδέσω αυτά τα δεδομένα. Είναι σωστά;

Για να μην κάνεις χρήση πολλών παραμέτρων ( γενικός κανόνας με εξαιρέσεις όμως)

Για κάθε

, το σημείο $A\left( {\dfrac{{{t^2}}}{{2p}},t} \right)$ ανήκει στην παραβολή

(Αποφεύγω ριζικά με αυτή την επιλογή)

Το μέσο $M({x_0},{y_0})$ της χορδής

είναι $M:\left\{ \begin{gathered} {x_0} = \frac{{{t^2}}}{{4p}} \hfill \\ {y_0} = \frac{t}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ με απαλοιφή της

παραμέτρου

έχεις αυτό που θέλεις .

Έλενα Σάββα · #4

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm
Το μέσο $M({x_0},{y_0})$ της χορδής είναι $M:\left\{ \begin{gathered} {x_0} = \frac{{{t^2}}}{{4p}} \hfill \\ {y_0} = \frac{t}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ με απαλοιφή της

παραμέτρου έχεις αυτό που θέλεις .

$\small x_{0}=\frac{t^{2}}{4p}, y_{0}=\frac{t}{2} \Rightarrow 2y_{0}=\sqrt{4px_{0}}\Rightarrow y_{0}=px_{0}$

Έλενα Σάββα · #5

Σας ευχαριστώ πολυ!!

#6

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm
της παραβολής $y^{2}=2px$ (1)

.

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm
Για κάθε , το σημείο $A\left( {\dfrac{{{t^2}}}{{2p}},t} \right)$ ανήκει στην παραβολή.

Αυτή την τεχνική πρέπει να την θυμόμαστε πάντα. Για κάποιο λόγο οι Αναλυτικές Γεωμετρίες
στην χώρα μας, εν γένει, δεν την υιοθετούν ενώ στις ξένες είναι ο κανόνας.

Ακόμα χειρότερα στην χώρα μας η παραβολή συνηθίζεται να γράφεται ως y^2 = 2px

. Είναι καλύτερο, όπως κάνουν
οι ξένοι, να την γράφουμε ως y^2 = 4px

.

Ποια είναι η διαφορά; Μεγάλη! Στην πρώτη περίπτωση, την ελληνική πρακτική, η εστία της παραβολής είναι
το σημείο $\left ( \dfrac {p}{2}, \, 0\right )$ ενώ στις ξένες είναι $(p, \, 0)$ . Με λίγα
λόγια στις ελληνικές κουβαλάμε κλάσματα όταν μπορούμε να τα αποφύγουμε.

Σημειώνω ακόμη ότι το τυπικό σημείο της y^2 = 4px

είναι το $(pt^2, \, 2pt)$ που είναι αρκετά πιο βολικό από το αντίστοιχο $\left( {\dfrac{{{t^2}}}{{2p}},t} \right)$ της μορφής y^2 = 2px

που συνηθίζουμε στον τόπο μας.

Όταν διδάσκω Αναλυτική, πάντα παίρνω την εξίσωση της παραβολής στην μορφή y^2 = 4px

.

Έλενα Σάββα · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:15 pm

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 6:49 pm
της παραβολής $y^{2}=2px$ (1)
.
Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm
Για κάθε , το σημείο $A\left( {\dfrac{{{t^2}}}{{2p}},t} \right)$ ανήκει στην παραβολή.
Αυτή την τεχνική πρέπει να την θυμόμαστε πάντα. Για κάποιο λόγο οι Αναλυτικές Γεωμετρίες
στην χώρα μας, εν γένει, δεν την υιοθετούν ενώ στις ξένες είναι ο κανόνας. (*)

Ακόμα χειρότερα στην χώρα μας η παραβολή συνηθίζεται να γράφεται ως . Είναι καλύτερο, όπως κάνουν
οι ξένοι, να την γράφουμε ως .

Σας ευχαριστώ για τις περισσότερες πληροφορίες, πολύ χρησιμες!! Δεν είχα καταλάβει ότι είναι γνωστή τεχνική (*).

#8

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 9:19 pm

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 7:44 pm
Το μέσο $M({x_0},{y_0})$ της χορδής είναι $M:\left\{ \begin{gathered} {x_0} = \frac{{{t^2}}}{{4p}} \hfill \\ {y_0} = \frac{t}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ με απαλοιφή της

παραμέτρου έχεις αυτό που θέλεις .
$\small x_{0}=\frac{t^{2}}{4p}, y_{0}=\frac{t}{2} \Rightarrow 2y_{0}=\sqrt{4px_{0}}\Rightarrow y_{0}=px_{0}$

Επί το ορθό $\boxed{y_0^2 = p{x_0}}$

#9

Έλενα Σάββα έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 10:38 pm
Δεν είχα καταλάβει ότι είναι γνωστή τεχνική (*).

Είπαμε, όχι και τόσο γνωστή στην χώρα μας.

Τώρα έμαθες κάτι καλό στο φόρουμ, και χαιρόμαστε.

Χορδές παραβολής

Χορδές παραβολής

Re: Χορδές παραβολής

Re: Χορδές παραβολής

Re: Χορδές παραβολής

Re: Χορδές παραβολής

Re: Χορδές παραβολής

Re: Χορδές παραβολής

Re: Χορδές παραβολής

Re: Χορδές παραβολής

Μέλη σε σύνδεση