Επιτόπιες προβολές

KARKAR · #1

: Επιτόπιες προβολές.png (10.7 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

Τα σημεία

και

είναι οι προβολές των A(-1,5)

και

σε μεταβλητή ευθεία $\varepsilon$ , η οποία

διέρχεται από την αρχή των αξόνων . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

, του τμήματος A'B'

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 05, 2021 7:28 am Επιτόπιες προβολές.pngΤα σημεία και είναι οι προβολές των και σε μεταβλητή ευθεία $\varepsilon$ , η οποία

διέρχεται από την αρχή των αξόνων . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου , του τμήματος .

Έστω $\epsilon: y=\lambda x.$

: Επιτόπιες προβολές.png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 829 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} AA':y - 5 = - \dfrac{1}{\lambda }(x + 1)\\ \varepsilon :y = \lambda x\\ BB':y - 7 = - \dfrac{1}{\lambda }(x - 3) \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {\frac{{5\lambda -1}}{{{\lambda ^2} + 1}},\frac{{\lambda (5\lambda - 1)}}{{{\lambda ^2} + 1}}} \right),B'\left( {\frac{{3\lambda + 7}}{{{\lambda ^2} + 1}},\frac{{\lambda (3\lambda + 7)}}{{{\lambda ^2} + 1}}} \right)$

Άρα, $\displaystyle M(x,y) = M\left( {\frac{{4\lambda + 3}}{{{\lambda ^2} + 1}},\frac{{\lambda (4\lambda + 3)}}{{{\lambda ^2} + 1}}} \right)$ και επειδή $\displaystyle \lambda = \frac{y}{x}$ καταλήγουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος

με εξίσωση $\boxed{x^2+y^2-3x-4y=0}$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από τα σημεία (0,4), (3,0).

Αν η ευθεία $\epsilon$ είναι κατακόρυφη, το μέσο του A'B'

είναι

που ανήκει στον παραπάνω κύκλο.

#3

: Επιτόπιες προβολές.png (23.84 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Τα σημεία

είναι σταθερά . το μέσο

του

σταθερό και το

ενώνει

τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου AA'BB'

και άρα

$MN//AA'//BB' \Rightarrow MN \bot A'B'$ .

Συνεπώς το

ανήκει στον κύκλο διαμέτρου

KARKAR · #4

: Επιτόπιες προβολές.png (21.01 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

... ο οποίος έχει εξίσωση : $(x-\dfrac{3}{2})^2+(y-2)^2=(\dfrac{5}{2})^2$

#5

Έστω

σημείο του τόπου και $\varepsilon \to y = kx$ , Με $A'({x_1},{y_1})\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B'\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} 2x = {x_1} + {x_2}\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ 2y = {y_1} + {y_2}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \overrightarrow {AA'} = ({x_1} + 1,{y_1} - 5)\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \overrightarrow {BB'} = ({x_2} - 7,{y_2} - 3)\,\,\left( 4 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Επιτόπιες προβολές.png (10.44 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

Αλλά το διάνυσμα $\overrightarrow {OM} = \left( {x,y} \right)$ είναι κάθετο στα δυανύσματα που εκφράζουν οι $\left( 3 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right)$ .

Έτσι θα έχω: $\left\{ \begin{gathered} x({x_1} + 1) + y({y_1} - 5) = 0 \hfill \\ x({x_2} - 7) + y({y_2} - 3) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και προσθέτω κατά μέλη:

$x\left( {2x - 6} \right) + y\left( {2y - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 3x - 4y = 0$ . κύκλος κ.λ.π.

Επιτόπιες προβολές

Επιτόπιες προβολές

Re: Επιτόπιες προβολές

Re: Επιτόπιες προβολές

Re: Επιτόπιες προβολές

Re: Επιτόπιες προβολές

Μέλη σε σύνδεση