Τόπος και καθετότητα

KARKAR · #1

: Τόπος και καθετότητα.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

$\bigstar$ Ευθύγραμμο τμήμα

έχει τα άκρα του στις ευθείες y=2

και

αντίστοιχα και διέρχεται από

την αρχή των αξόνων . Από το σημείο S(4,3)

φέρω τμήμα : $SD \perp AB$ .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

. β) Βρείτε τη θέση του

, ώστε να είναι $\widehat{ASB}= 90^0$ .

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 08, 2022 8:01 pm
$\bigstar$ Ευθύγραμμο τμήμα έχει τα άκρα του στις ευθείες και αντίστοιχα και διέρχεται από

την αρχή των αξόνων . Από το σημείο φέρω τμήμα : $SD \perp AB$ .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου . β) Βρείτε τη θέση του , ώστε να είναι $\widehat{ASB}= 90^0$ .

: geogebra.png (94.96 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Κάπως πιο γενικά (για το α):

Προφανώς το ανήκει σε κύκλο διαμέτρου , άρα οι εξισώσεις των ευθειών στις οποίες ανήκουν τα , είναι περιττές (όσον αφορά αυτό το ερώτημα).

Αν το έχει συντεταγμένες , τότε το κέντρο του κύκλου θα έχει συντεταγμένες $\left( \dfrac{m}{2}, \dfrac{n}{2} \right)$ και επιπλέον:

$\displaystyle{ (SO) = \sqrt{m^2 + n^2} \Leftrightarrow \dfrac{(SO)}{2} = \dfrac{\sqrt{m^2 + n^2}}{2} }$

Επομένως, η ζητούμενη εξίσωση του γεωμετρικού τόπου είναι:

$\displaystyle{ \left( x - \dfrac{m}{2} \right)^2 + \left( y - \dfrac{n}{2} \right)^2 = (SO)^2 \Leftrightarrow \boxed{\left( x - \dfrac{m}{2} \right)^2 + \left( y - \dfrac{n}{2} \right)^2 = \dfrac{m^2 + n^2}{4}} \Leftrightarrow (2x - m)^2 + (2y - n)^2 = m^2 + n^2 }$

Για , , η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{4(x - 2)^2 + (2y - 3)^2 = 25}$ .
Επειδή προφανώς , θα είναι $\widehat{S} = 90 ^\circ$ αν και μόνο αν .

Έστω , τότε , ενώ επίσης:

$\displaystyle{ (OS) = (OA) \Leftrightarrow \sqrt{b^2 + 4} = 5 \Leftrightarrow \boxed{b = \pm\sqrt{21}} }$

Έτσι, το τρίγωνο $\triangle SAB$ είναι ορθογώνιο όταν $A(\sqrt{21}, 2)$ και $B(-\sqrt{21}, -2)$ ή $A(-\sqrt{21}, 2)$ και $B(\sqrt{21}, -2)$ .

Τόπος και καθετότητα

Τόπος και καθετότητα

Re: Τόπος και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση