Δύο απ' αυτά είναι αντίρροπα

Tolaso J Kos · #1

Θεωρούμε τα συνεπίπεδα διανύσματα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ , $\vec{\gamma}$ . Να δειχθεί ότι η σχέση

$\displaystyle{\frac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{\left | \vec{\alpha} \right | \left | \vec{\beta} \right |} + \frac{\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}}{\left | \vec{\beta} \right | \left | \vec{\gamma} \right |} + \frac{\vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha}}{\left | \vec{\gamma} \right | \left | \vec{\alpha} \right |} = -1 \quad (1)}$
συνεπάγεται ότι δύο απ' τα διανύσματα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ , $\vec{\gamma}$ είναι αντίρροπα.

ksofsa · #2

Καλησπέρα.

Δίνω λύση εκτός φακέλου, που δείχνει το ζητούμενο για διανύσματα όχι απαραίτητα συνεπίπεδα.

Θέτω $\mathbf{x}=\dfrac{\mathbf{a}}{\left | \mathbf{a} \right |},\mathbf{y}=\dfrac{\mathbf{b}}{\left | \mathbf{b} \right |},\mathbf{z}=\dfrac{\mathbf{c}}{\left | \mathbf{c} \right |}$ , καθένα εκ των οποίων έχει μέτρο

.

Οπότε, η συνθήκη γράφεται $\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}+\mathbf{y\cdot \mathbf{z}}+\mathbf{z\cdot \mathbf{x}}=-1$ .

Αρκεί να δείξουμε ότι $\left | \mathbf{x}+\mathbf{y} \right |^2\left | \mathbf{y}+\mathbf{z} \right |^2\left | \mathbf{z}+\mathbf{x} \right |^2=0$ , αφού τότε δύο εκ των $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}$ αντίθετα.

Πράγματι,
$\left | \mathbf{x}+\mathbf{y} \right |^2\left | \mathbf{y}+\mathbf{z} \right |^2\left | \mathbf{z}+\mathbf{x} \right |^2=(\left | \mathbf{x} \right |^2+2\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}+\left | \mathbf{y} \right |^2)(\left | \mathbf{y} \right |^2+2\mathbf{y}\cdot \mathbf{z}+\left | \mathbf{z} \right |^2)(\left | \mathbf{z} \right |^2+2\mathbf{z}\cdot \mathbf{x}+\left | \mathbf{x} \right |^2)=$

$8(1+\mathbf{x}\cdot \mathbf{y})(1+\mathbf{y}\cdot \mathbf{z})(1+\mathbf{z}\cdot \mathbf{x})=8(2+2(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}+\mathbf{y}\cdot \mathbf{z}+\mathbf{z}\cdot \mathbf{x}))=0$ .

Χρησιμοποιήθηκε κατ' επανάληψη ότι το μέτρο κάθε διανύσματος είναι

.

Η παραπάνω προσέγγιση έχει λάθος στην προτελευταία ισότητα. Θεώρησα αυθαίρετα ,λόγω απροσεξίας, ότι ισχύει κάποιου είδους προσεταιριστική ιδιότητα για το εσωτερικό γινόμενο. Ευχαριστώ τον κύριο Μαυρογιάννη (nsmavrogiannis) που με ενημέρωσε με προσωπικό μήνυμα.

#3

Αλλιώς:

Το ζητούμενο μεταφράζεται στο εξής:

Αν $\displaystyle{x=\angle (\vec{a},\vec{b}), y=\angle (\vec{b},\vec{c}), z=\angle (\vec{c},\vec{a})}$

$\displaystyle{x+y+z=2\pi \wedge \cos x+\cos y+\cos z=-1\implies x+y=\pi \lor y+z=\pi \lor z+x=\pi}$ .

Αυτό είναι άμεσο από την ταυτότητα

$\displaystyle{\cos x+cos y+\cos z+\cos (x+y+z)=4\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{y+z}{2} \cos \frac{z+x}{2}.}$

S.E.Louridas · #4

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2024 5:33 pm Θεωρούμε τα συνεπίπεδα διανύσματα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ , $\vec{\gamma}$ . Να δειχθεί ότι η σχέση $\displaystyle{\frac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{\left | \vec{\alpha} \right | \left | \vec{\beta} \right |} + \frac{\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}}{\left | \vec{\beta} \right | \left | \vec{\gamma} \right |} + \frac{\vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha}}{\left | \vec{\gamma} \right | \left | \vec{\alpha} \right |} = -1 \quad (1)}$ συνεπάγεται ότι δύο απ' τα διανύσματα $\vec{\alpha}$ , $\vec{\beta}$ , $\vec{\gamma}$ είναι αντίρροπα.

Για να αξιοποιήσουμε την «αντίστοιχη» μονάδα μέτρησης τυχόντος μη μηδενικού διανύσματος, χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση

$\displaystyle{\overrightarrow x = \frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}},\;\,\overrightarrow y = \frac{{\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}},\,\;\overrightarrow z = \frac{{\overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow c } \right|}},}$ που ήδη την είδαμε από τον Κώστα.
Έτσι παίρνουμε: $\left| {\overrightarrow x } \right| = \left| {\overrightarrow y } \right| = \left| {\overrightarrow z } \right| = 1,\;\;(\overrightarrow {x} \overrightarrow y + \overrightarrow y \overrightarrow z + \overrightarrow z \overrightarrow x + {\overrightarrow x ^2} = 0{)_{cyclic}}$ ή

$\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } \right)\left( {\overrightarrow y + \overrightarrow z } \right) = 0,\;\left( {\overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\left( {\overrightarrow z + \overrightarrow x } \right) = 0,\;\left( {\overrightarrow z + \overrightarrow x } \right)\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y } \right) = 0.$

Αν λοιπόν τουλάχιστον μία από τις παρενθέσεις είναι $\overrightarrow 0$ , τότε τελειώσαμε.

Αν όλες οι παρενθέσεις είναι διάφορες του $\overrightarrow 0$ , τότε καταλήγουμε στο άτοπο δύο διανύσματα να είναι παράλληλα και ταυτόχρονα κάθετα

π.χ. $(\overrightarrow x + \overrightarrow y ) \bot ( \overrightarrow y + \overrightarrow z) \;\kappa \alpha \iota \;(\overrightarrow x + \overrightarrow y) \parallel ( \overrightarrow y + \overrightarrow z)$ (ως κάθετα στο ίδιο διάνυσμα $\overrightarrow z + \overrightarrow x ).$

#5

Και μια με χρήση μιγαδικών. Αξιοποιώντας την στάνταρ μετατροπή σε μοναδιαία διανύσματα όπως έκαναν προηγουμένως ο Κώστας και ο Σωτήρης θέλουμε να δείξουμε ότι αν τρία μοναδιαία έχουν άθροισμα των ανά δύο εσωτερικών γινομένων τους

τότε δύο από αυτά είναι αντίθετα. Περνάμε σε μιγαδικούς αριθμούς

,

με μέτρο

και λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων των

,

είναι $\frac{u\bar{v}+\bar{u}v}{2}$ κτλ έχουμε από την υπόθεση ότι
$u\bar{v}+v\bar{u}+v\bar{w}+\bar{v}w+w\bar{u}+\bar{w}u=-2$
που λόγω των $\bar{u}=\frac{1}{u},\bar{v}=\frac{1}{v},\bar{w}=\frac{1}{w}$ δίνει
$0=\frac{u}{v}+\frac{v}{u}+\frac{v}{w}+\frac{w}{v}+\frac{w}{u}+\frac{u}{w}+2=\allowbreak \frac{\left( w+u\right) \left( w+v\right) \left( v+u\right) }{vuw}$
από την οποία προκύπτει ότι κάποιοι δύο από τους

,

είναι αντίθετοι και φυσικά και τα αντίστοιχα διανύσματα.

Δύο απ' αυτά είναι αντίρροπα

Δύο απ' αυτά είναι αντίρροπα

Re: Δύο απ' αυτά είναι αντίρροπα

Re: Δύο απ' αυτά είναι αντίρροπα

Re: Δύο απ' αυτά είναι αντίρροπα

Re: Δύο απ' αυτά είναι αντίρροπα

Μέλη σε σύνδεση