Φουλ του 3

KARKAR · #1

: Φουλ του 3.png (25.5 KiB) Προβλήθηκε 630 φορές

Η ευθεία : $y=-\dfrac{1}{3}x+5$ , τέμνει τον ημιάξονα

στο σημείο

. Με κέντρο σημείο

της ευθείας ,

γράφω κύκλο ακτίνας

, προς τον οποίο φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

( το

είναι εσωτερικό σημείο

του πρώτου τεταρτημορίου ) . Βρείτε τις συντεταγμένες του

, ώστε :

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιουν 02, 2024 7:48 am Φουλ του 3.pngΗ ευθεία : $y=-\dfrac{1}{3}x+5$ , τέμνει τον ημιάξονα στο σημείο . Με κέντρο σημείο της ευθείας ,

γράφω κύκλο ακτίνας , προς τον οποίο φέρω το εφαπτόμενο τμήμα ( το είναι εσωτερικό σημείο

του πρώτου τεταρτημορίου ) . Βρείτε τις συντεταγμένες του , ώστε :

: Φούλ του 3_Κατασκευή.png (47.5 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Ευκλείδεια λύση .

Με πέντε εξισώσεις και πέντε αγνώστους έχω : $a = \dfrac{3}{2}\,\,,\,\,b = \dfrac{5}{2}\,\,,\,\,m = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x = 6\,\,,\,\,y = 3$ άρα $K\left( {6,3} \right)$
Λύση
Ο κύκλος που θέλω τελικά εφάπτεται του οριζόντιου άξονα αλλά δεν το ξέρω . Επειλέγω λύση με Ευκλείδεια Γεωμετρία .

Έστω

το σημείο τομής της

με τον οριζόντιο άξονα και

η προβολή του

στην

.

Ας είναι δε

η προβολή του

, στην

. Θέτω $KZ = OD - x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KD = ZO = y$ .

Από την ομοιότητα , $\vartriangle TOP \approx \vartriangle KDP$ προκύπτει , $\dfrac{{PD}}{{PO}} = \dfrac{{KD}}{{TO}}\,\,$ . Επειδή $OT = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OP = 15$ , έχω : $\dfrac{{15 - x}}{{15}} = \dfrac{y}{5}\,\, \Rightarrow x = 15 - 3y\,\,\,\left( * \right)$

Φέρνω τώρα το ύψος ,

προς τη βάση,

, του τριγώνου STK

. Επειδή $\dfrac{1}{2}SK \cdot TA = 3 \Rightarrow \boxed{TA = 2}\,\,\,\left( { * * } \right)$ .

Ας είναι ακόμα

το σημείο τομής των $KA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OT$ , θέτω ακόμα $SA = m\,\,,\,\,AB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = b$ .

Τα σημεία , Z,O,D,K,S

ανήκουν σε κύκλο , έστω $\left( M \right)$ διαμέτρου

ενώ τα σημεία :

A,T,Z,K

ανήκουν σε άλλο κύκλο , έστω $\left( N \right)$ διαμέτρου

.

Εύκολα τώρα έχω ότι ισχύουν : ${b^2} = {a^2} + 4\,\,\left( 1 \right)$ (Π. Θ. στο $\vartriangle ABT$ ) , $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{k}\,\,\left( 2 \right)$ ( AT//OS

)

Από τα όμοια $\vartriangle BTA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle BKZ$ ισχύει , $\dfrac{{BT}}{{BK}} = \dfrac{{TA}}{{KZ}} = \dfrac{{BA}}{{BZ}} \Rightarrow \dfrac{b}{{a + m + 3}} = \dfrac{2}{x} = \dfrac{a}{{b + 5 - y}}\,\,\,\,\left( 3 \right)$ .

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ εκφράζω τα a,b

από το

κι έχω : $a = \dfrac{{2m}}{{\sqrt {25 - {m^2}} }}\,\,\,\left( 4 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = \dfrac{{10}}{{\sqrt {25 - {m^2}} }}\,\,\left( 5 \right)$

: Φούλ του 3_new_Κατασκευή.png (30.04 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

ΟΙ σχέσεις $\left( 3 \right)$ και λόγω της $\left( * \right)$ δίνουν δυο εκφράσεις του

μόνο από το

τις :

$y = \dfrac{{2\sqrt {25 - {m^2}} - 10{m^2} + 6m + 25}}{{5 - 2{m^2}}}\,\,\left( 6 \right)$ και $y = - \dfrac{{\sqrt {25 - {m^2}} \left( {m + 3} \right) + 2m - 75}}{{15}}\,\,\left( 7 \right)$ .

Εξισώνω τα δεύτερα μέλη των $\left( 6 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 7 \right)$ κι έχω την εξίσωση :

$\sqrt {25 - {m^2}} \left( {2{m^3} + 6{m^2} - 5m - 45} \right) + 4m\left( {{m^2} - 25} \right) = 0$ με ρίζες :

$\left\{ \begin{gathered} m = \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {1010} }}{4} - \frac{9}{2}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\sqrt {1010} }}{4} + \frac{9}{2}}} - 3 \hfill \\ m = - \frac{{\sqrt {10} }}{2} \hfill \\ m = - 5 \hfill \\ m = 5 \hfill \\ m = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Η τελευταία επαληθεύει , δηλαδή m = 3

και εύκολα μετά : $a = \dfrac{3}{2}\,\,,\,\,b = \dfrac{5}{2}\,\,,\,x = 6\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 3$ , άρα

$K\left( {6,3} \right)$

Θα εξετάσω αν και η τιμή είναι δεκτή . , Προφανώς δεν είναι δεκτή ( μηδενίζει παρανομαστές! )

Φουλ του 3

Φουλ του 3

Re: Φουλ του 3

Μέλη σε σύνδεση