Δέσμη

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η δέσμη
$\displaystyle{(x+y+1) + \lambda \left( x - 2y - 3 \right) \quad , \quad \lambda \in \mathbb{R}}$
Να βρεθούν οι ευθείες της δέσμης, των οποίων οι συντεταγμένες επί την αρχή είναι κατ’ απόλυτη τιμή ίσες.

Nikitas K. · #2

Ισχύει:
$(x+y+1)+\lambda (x-2y-3) = (\lambda + 1) x + (1 - 2 \lambda) y + 1 - 3 \lambda~,~~\lambda \in \mathbb{R}$

Έστω $\left(x_0, 0\right)$ και $\left(0, y_0\right)$ τα σημεία τομής τυχούσας ευθείας της οικογένειας ευθειών με τους αντίστοιχους άξονες.

Πράγματι, για το σημείο τομής με την

τετμημένη:
- Αν $\lambda = - 1$ , τότε άτοπο.
Εφόσον , τότε

τεταγμένη:
- Αν $\lambda = \frac{1}{2}$ , τότε $0=\frac{1}{2}$ άτοπο.
Εφόσον , τότε

Πρέπει:
$\left | x_ 0 \right | = \left | y_0 \right |\Leftrightarrow \left | \frac{3\lambda -1}{\lambda + 1} \right | = \left | \frac{3\lambda - 1}{1-2\lambda }\right |$

Αν $\lambda = \frac{1}{3}$ , τότε ισχύει.

Αν , τότε
- Αν $\lambda < -1$ , τότε $-\lambda - 1 = 1 - 2\lambda \Leftrightarrow \lambda = 2$ απορρίπτεται.
- Αν $-1< \lambda < \frac{1}{3} \vee \frac{1}{3} < \lambda < \frac{1}{2}$ , τότε $\lambda + 1 = 1 -2\lambda \Leftrightarrow \lambda = 0$ δεκτή.
- Αν $\lambda > \frac{1}{2}$ , τότε $\lambda + 1 = -1 + 2\lambda\Leftrightarrow \lambda = 2$ δεκτή.