Τριπλότοπος

KARKAR · #1

: Τριπλότοπος.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

Η κορυφή

του τριγώνου ABC

κινείται στην ευθεία y=6

, ενώ οι

στην :

.

Θεωρούμε σημεία D , E

των

αντίστοιχα , ώστε : $BD=\dfrac{AB}{4}$ και $CE=\dfrac{AC}{3}$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

των

.

#2

Κώστας: Να προσθέσω ένα ερώτημα;

Θανάσης: Ελεύθερα!!

Κώστας: Ευχαριστώ Θανάση!
Η ευθεία AS διέρχεται από σταθερό σημείο.

KARKAR · #3

Μετά από δύο και πλέον χρόνια , ήρθε η ώρα της . Δείξτε ακόμη ότι το

είναι το μέσο του

.

Στο ερώτημα του Κώστα , θεωρήστε τα B , C

σταθερά . Στα άλλα κινούνται και οι τρεις κορυφές !

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

(Εκτός φακέλου)

Έστω

το σημείο τομής της

με την

Το

είναι εσωτερικό του $\triangle ABC$ οπότε το

θα είναι ένα σημείο του τμήματος

Είναι: $\dfrac{AD}{DB}=3$ , $\dfrac{BK}{KC}=k$ , $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{1}{2}$

$\bullet$ Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη και εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Ceva έχουμε

$\dfrac{AD}{DB}\cdot\dfrac{BK}{KC}\cdot \dfrac{CE}{EA}=\dfrac{3}{2}\cdot k=1$ $\Rightarrow \dfrac{BK}{KC}=\dfrac{2}{3}$

οπότε το

είναι ένα σταθερό σημείο του τμήματος

$\bullet$ Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\triangle AKC$ με τέμνουσα την BSE

έχουμε

$\dfrac{SA}{SK}\cdot\dfrac{BK}{BC}\cdot \dfrac{EC}{EA}=1$ $\Rightarrow \dfrac{SA}{SK}=2\cdot \dfrac{5}{2}=5$

οπότε το

βρίσκεται σε μια παράλληλη της

και ειδικότερα στην y=1

$\bullet$ Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\triangle BAE$ με τέμνουσα την CSD

έχουμε

$\dfrac{SB}{SE}\cdot\dfrac{CE}{CA}\cdot \dfrac{DA}{DB}=1$ $\Rightarrow \dfrac{SB}{SE}=\dfrac{1}{3}\cdot 3=1$

οπότε το

είναι μέσο του

$\blacksquare$

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 03, 2022 10:47 am Τριπλότοπος.pngΗ κορυφή του τριγώνου κινείται στην ευθεία , ενώ οι στην : .

Θεωρούμε σημεία των αντίστοιχα , ώστε : $BD=\dfrac{AB}{4}$ και $CE=\dfrac{AC}{3}$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των .

: Τριπλότοπος.png (26.09 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές

Από Θ. $Van\,\,Aubel$ στο $\vartriangle ABC$ έχω : $\dfrac{{AS}}{{ST}} = \dfrac{{AD}}{{DB}} + \dfrac{{AE}}{{EC}} = 3 + 2 = 5$

Συνεπώς το

διαγράφει σταθερή παράλληλη προς τις δύο δεδομένες και διερχομένη από το σταθερό σημείο

Τριπλότοπος

Τριπλότοπος

Re: Τριπλότοπος

Re: Τριπλότοπος

Re: Τριπλότοπος

Re: Τριπλότοπος

Μέλη σε σύνδεση