Μέγιστο υποτρίγωνο

KARKAR · #1

: Μέγιστο υποτρίγωνο.png (8.3 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο OAB

, με :

, το

είναι το μέσο της

,

ενώ τα S , T

είναι σημεία των BO , BA

αντίστοιχα , τέτοια ώστε το τμήμα

να είναι

παράλληλο προς την διάμεσο

. Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου STN

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 10, 2025 4:54 pm Μέγιστο υποτρίγωνο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , το είναι το μέσο της ,

ενώ τα είναι σημεία των αντίστοιχα , τέτοια ώστε το τμήμα να είναι

παράλληλο προς την διάμεσο . Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Αν $S\left( 0,s \right)$ και $ST:y-s=\dfrac{3}{5}x$ και ${{\lambda }_{BC}}=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow BC:y-6=-\dfrac{3}{5}x$
Από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο αυτών ευθειών προκύπτει ${{y}_{T}}=\dfrac{6+s}{2}$ και ${{x}_{T}}=\dfrac{30-5s}{6}\Rightarrow T\left( \dfrac{30-5s}{6},\dfrac{6+s}{2} \right)$
Άρα $\left( NST \right)=\dfrac{1}{2}\left| \det \left( \overrightarrow{NS},\overrightarrow{NT} \right) \right|=\dfrac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} \dfrac{30-5s}{6}-5 & \dfrac{6+s}{2}-0 \\ -5 & s \\ \end{matrix} \right| \right|=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{-5{{s}^{2}}}{6}+\dfrac{5s}{2}+15 \right|$
Με μέγιστο για $s=-\dfrac{\dfrac{5}{2}}{-\dfrac{5}{3}}=\dfrac{3}{2}$ το $\max \left( NST \right)=\dfrac{1}{2}\cdot \left| \left( \dfrac{-5\cdot {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}{6}+\dfrac{5\cdot \dfrac{3}{2}}{2}+15 \right) \right|=\dfrac{1}{2}\left| -\dfrac{45}{24}+\dfrac{15}{4}+15 \right|=\dfrac{135}{16}$

Nikitas K. · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 10, 2025 4:54 pm Μέγιστο υποτρίγωνο.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο , με : , το είναι το μέσο της ,

ενώ τα είναι σημεία των αντίστοιχα , τέτοια ώστε το τμήμα να είναι

παράλληλο προς την διάμεσο . Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: Μέγιστο υποτρίγωνο.png (21.99 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle ABC$ και στο $\triangle OSN$ λαμβάνουμε:

$AB = 2\sqrt{34} ~ \color{blue} *$ και

$\fbox{SN = \sqrt{x^2 + 25}}$ αντίστοιχα.

Από $\triangle BTS \sim \triangle BMO \overset{{\color{blue} *}}{\Rightarrow} y = \dfrac{ x \sqrt{34} } {6} ~ \color{blue} **$

Ισχύει:

$\fbox{ST \overset{{\color{blue} **}}{=} \sqrt{34} - \dfrac{x\sqrt{34}}{6}}$

Από το νόμο συνημιτόνων στο $\triangle TNA$ λαμβάνουμε:

$\fbox{ TN \quad \underset{{\color{blue} **}}{ \overset{\cos\angle A = \dfrac{ 5 } { \sqrt{34} } } {=} } \quad \dfrac{\sqrt{17x^2 + 54x + 162} } { 3\sqrt{2} } }$

Από τον τύπο του Ήρωνα στο $\triangle STN$ :

$(STN) = \dfrac{135}{16} - \dfrac{5}{12} \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2$ · για $x=\dfrac{3}{2}$ το ζητούμενο έπεται.

Μέγιστο υποτρίγωνο

Μέγιστο υποτρίγωνο

Re: Μέγιστο υποτρίγωνο

Re: Μέγιστο υποτρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση