Έχει πάρει κλίση

KARKAR · #1

: Έχει πάρει κλίση.png (10.99 KiB) Προβλήθηκε 711 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=10

, σχεδιάστε χορδή PQ=8

, η οποία να διέρχεται από

το σημείο S(3,2)

. (Τα

σημεία του

άξονα ) . Υπολογίστε την κλίση της χορδής αυτής .

tdsotm111 · #2

: Καταγραφή.JPG (29.41 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο POQ

έχουμε: $\displaystyle{8^2=5^2+5^2-2\cdot 5\cdot 5 \cos (P\hat O Q)}\Leftrightarrow\cos (P\hat O Q)=\frac{-7}{25}$

Άρα και $\displaystyle{\sin(P\hat O Q)=\sqrt{1-\cos^2(P\hat O Q)}{}=\sqrt{1-\frac{49}{625}}=\frac{24}{25}}$

Για το εμβαδόν του POQ

έχουμε:
$\displaystyle{(POQ)=\frac{1}{2}OP\cdot OQ \cdot \sin(P\hat O Q)=\frac{1}{2}OM\cdot PQ\Leftrightarrow \frac{1}{2}5\cdot 5 \frac{24}{25}=\frac{1}{2}\cdot d(O,PQ) \cdot 8\Leftrightarrow d(O,PQ)=3 }$ (1)

Η ευθεία PQ διέρχεται από τι σημείο S(3,2) και έχει γενικό τύπο: $\displaystyle{y-2=\lambda (x-3)\Leftrightarrow \lambda x -y+2-3\lambda =0}$

Άρα η (1) γίνεται:
$\displaystyle{ d(O,PQ)=3 \Leftrightarrow \frac{|\lambda \cdot 0 -0+2-3\lambda|}{\sqrt{\lambda^2+1}}=3\Leftrightarrow \lambda=-\frac{5}{12}}$

Eπιπλέον εφόσον το ΟΜ είναι κάθετο στο PQ και OM=3

, η χορδή θα σχεδιαστεί φέρνοντας εφαπτομένη στο σημείο Μ του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας ίσης με 3.

#3

KARKAR έγραψε:Έχει πάρει κλίση.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , σχεδιάστε χορδή , η οποία να διέρχεται από

το σημείο . (Τα σημεία του άξονα ) . Υπολογίστε την κλίση της χορδής αυτής .

: Έχει πάρει κλίση.png (22.25 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές

Κατασκευή: Προς το ίδιο μέρος του ημικυκλίου γράφω το ημικύκλιο (O,3)

διαμέτρου

και από το

φέρνω την εφαπτομένη του

(διαφορετική της

) που τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στα P, Q

και τον

στο

. Η

είναι η ζητούμενη χορδή.

Απόδειξη: Πράγματι, από Π. Θ στο τρίγωνο OMP

είναι

, άρα $\boxed{PQ=8}$ .

Από τα όμοια τρίγωνα OMK, SDK

είναι: $\displaystyle{\frac{{4 + x}}{{2 + y}} = \frac{3}{2} = \frac{{5 + y}}{{2 + x}} \Rightarrow x = \frac{{16}}{5},y = \frac{{14}}{5}}$

H κλίση της χορδής

είναι: $\displaystyle{\lambda = - \tan \theta = - \frac{2}{{2 + y}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\lambda = - \frac{5}{{12}}}$

mathematica.gr

Έχει πάρει κλίση

Έχει πάρει κλίση

Re: Έχει πάρει κλίση

Re: Έχει πάρει κλίση

Μέλη σε σύνδεση