Ο κύκλος μας μεγαλώνει

KARKAR · #1

: Ο κύκλος μας μεγαλώνει.png (15.45 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές

Ο μπλε κύκλος έχει διάμετρο το τμήμα

. Ο μοβ κύκλος εφάπτεται του μπλε και των πλευρών

της γωνίας $\widehat{xOA}$ . Βρείτε την εξίσωση του μοβ κύκλου και το σημείο επαφής με την ευθεία

.

Για τους μαθηματικούς το θέμα ίσως φαίνεται τετριμμένο αλλά πιθανόν να ενδιαφέρει τους μαθητές .

Για τους ανήσυχους : Λύστε το ίδιο πρόβλημα , χωρίς χρήση συντεταγμένων .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 04, 2025 8:10 pm
Ο κύκλος μας μεγαλώνει.pngΟ μπλε κύκλος έχει διάμετρο το τμήμα . Ο μοβ κύκλος εφάπτεται του μπλε και των πλευρών

της γωνίας $\widehat{xOA}$ . Βρείτε την εξίσωση του μοβ κύκλου και το σημείο επαφής με την ευθεία .

Για τους μαθηματικούς το θέμα ίσως φαίνεται τετριμμένο αλλά πιθανόν να ενδιαφέρει τους μαθητές .

Για τους ανήσυχους : Λύστε το ίδιο πρόβλημα , χωρίς χρήση συντεταγμένων .

Η λύση με Ευκλείδεια Γεωμετρία .

Έστω R,x

οι ακτίνες των κύκλων μπλε και μοβ αντίστοιχα και R+x

η ακτίνα του κόκκινου κύκλου με

$O'D//OM,O'E//ON,II'\perp OK$ . Αρα ο μοβ κύκλος διερχεται από τα σταθερά σημεία I,I',D,E

και εφάπτεται

στις πλευρές της γωνίας DO'E

Οπότε το σημείο

ορίζεται ως τομή των DK,EK

και ακτίνα x=DK-R

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 04, 2025 8:10 pm
Ο κύκλος μας μεγαλώνει.pngΟ μπλε κύκλος έχει διάμετρο το τμήμα . Ο μοβ κύκλος εφάπτεται του μπλε και των πλευρών

της γωνίας $\widehat{xOA}$ . Βρείτε την εξίσωση του μοβ κύκλου και το σημείο επαφής με την ευθεία .

Για τους μαθηματικούς το θέμα ίσως φαίνεται τετριμμένο αλλά πιθανόν να ενδιαφέρει τους μαθητές .

Για τους ανήσυχους : Λύστε το ίδιο πρόβλημα , χωρίς χρήση συντεταγμένων .

Αν

είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου, τότε η ακτίνα του θα είναι R=b

και το κέντρο

του μικρού κύκλου L(1,2)

με ακτίνα $r=\sqrt 5.$ Είναι ακόμα, $d(K,OA) = b \Leftrightarrow \dfrac{{|2a - b|}}{{\sqrt 5 }} = b \Leftrightarrow$

${a^2} - ab - {b^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{a=b\phi}$ (1)

: Ο κύκλος μας μεγαλώνει.png (16.59 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

Αλλά, $\displaystyle b = LK - r = \sqrt {{{(a - 1)}^2} + {{(b - 2)}^2}} - \sqrt 5$ και από την (1)

με αντικατάσταση

του $\phi=\dfrac{\sqrt 5+1}{2},$ βρίσκω $b=2\sqrt 5$ και $a=5+\sqrt 5.$

Η εξίσωση λοιπόν του κύκλου είναι $\boxed{ {\left( {x - 5 - \sqrt 5 } \right)^2} + {\left( {y - 2\sqrt 5 } \right)^2} = 20}$

Αν T(t, 2t)

, τότε $\displaystyle O{T^2} = 5{t^2} = {\left( {5 + \sqrt 5 } \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{T(2\phi, 4\phi)}$

mathematica.gr

Ο κύκλος μας μεγαλώνει

Ο κύκλος μας μεγαλώνει

Re: Ο κύκλος μας μεγαλώνει

Re: Ο κύκλος μας μεγαλώνει

Μέλη σε σύνδεση