Εύρεση κορυφών

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

Αν

είναι το κέντρο ενός τετραγώνου, του οποίου η μία πλευρά βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση 4x-3y+52=0

, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του.

#2

NIZ έγραψε:Αν είναι το κέντρο ενός τετραγώνου, του οποίου η μία πλευρά βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση , να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του.

Καλησπέρα Νίκο!

: Εύρεση κορυφών.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Έστω

η πλευρά που βρίσκεται πάνω στη δοσμένη ευθεία. Τότε η απόσταση KM=d

του

από τη ευθεία θα είναι ίση με το μισό της πλευράς του τετραγώνου. Θα βρούμε πρώτα λοιπόν το μήκος της πλευράς του τετραγώνου και στη συνέχεια το μέσο

της πλευράς AB.

$\displaystyle{ d = \frac{{|4 \cdot ( - 3) - 3 \cdot 5 + 52|}}{5} \Leftrightarrow d = 5 \Leftrightarrow }$ $\boxed{AB=10}$ Επίσης, $\displaystyle{KM:y - 5 = - \frac{3}{4}(x + 3) \Leftrightarrow }$ $\boxed{3x + 4y - 11 = 0}$

Λύνοντας τώρα το σύστημα αυτής της εξίσωσης και της 4x-3y+52=0

, βρίσκω

. Τα

είναι λοιπόν τα σημεία

τομής της ευθείας 4x-3y+52=0

με τον κύκλο (x+7)^2+(y-8)^2=25

και είναι: $\boxed{A(-10,4), B(-4,12)}$

Επειδή τώρα το

είναι το κοινό μέσο των AC, BD

, θα είναι $\displaystyle{\frac{{{C_x} - 10}}{2} = - 3,\frac{{{C_y} + 4}}{2} = 5 \Rightarrow }$ $\boxed{C(4,6)}$ και ομοίως $\boxed{D(-2,-2)}$

#3

Καλημέρα Νίκο , καλημέρα Γιώργο
Κάπως διαφορετικά
Βρίσκουμε ,όπως στη λύση του Γιώργου παραπάνω, την απόσταση $\displaystyle{d(K,{\rm{\varepsilon ) = 5}}}$
Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο $\displaystyle{K( - 3,5)}$ και ακτίνα $\displaystyle{5\sqrt{2}}$ ο οποίος τέμνει την ευθεία στα $\displaystyle{A,B}$ τα οποία είναι δύο από τις κορυφές του τετραγώνου
(οι συνττετεγμένες τους βρίσκονται λύνοντας το σύστημα ευθείας – κύκλου).
Οι άλλες δύο είναι τα συμμετρικά των $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ ως προς το $\displaystyle{K}$ .

: Untitled.png (35.37 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

Γιώργο και Γιώργη καλησπέρα!
Θα δώσω και μια διαφορετική προσέγγιση στο πρόβλημα, που δυστυχώς δεν είναι πιο "οικονομική". Γενικά αυτές οι ασκήσεις, μάλλον έχουν αρκετές πράξεις.
Έστω $\vec u = (3, 4)$ διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία $(\delta) : 4x-3y+52=0$ και $\vec v =(1,m)$ διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία $(\epsilon)$ που διέρχεται από το κέντρο

του τετραγώνου έχει συντελεστή διεύθυνσης

(*) και σχηματίζει με την ευθεία $(\delta)$ γωνία $\displaystyle\frac {\pi}{4}$ , δηλαδή η $(\epsilon)$ είναι διαγώνιος του τετραγώνου. Τότε
$\vec u \cdot \vec v = 3+4m , |\vec u |=5 , |\vec v | = \sqrt{m^2 +1}$ και
$\displaystyle \cos \frac {\pi}{4}= \frac{\vec u \cdot \vec v} {|\vec v| \cdot |\vec u |} \Leftrightarrow\frac {\sqrt 2}{2} = \frac { 3+4m } { 5 \cdot \sqrt{m^2 +1} }$
Η εξίσωση αυτή έχει λύσεις m= -7

και $\displaystyle m=\frac {1}{7}$ άρα
$(\epsilon ) : y=-7x-16$ και $(\epsilon ') : x-7y=-38$
Βρίσκουμε τo σημείo τομής (-4,12)

των $(\epsilon)$ και $(\delta)$ και το σημείο τομής (-10,4)

των $(\epsilon ')$ και $(\delta)$ όπως και τα συμμετρικά των σημείων αυτών (-2,-2)

,

ως προς

και έχουμε τις κορυφές του τετραγώνου.

(*) Η ευθεία με εξίσωση x=-3

δεν μπορεί να είναι εξίσωση διαγωνίου του συγκεκριμένου τετραγώνου, γιατί τότε η $(\delta) : 4x-3y+52=0$
θα έπρεπε να έχει συντελεστή διεύθυνσης

ή

Εύρεση κορυφών

Εύρεση κορυφών

Re: Εύρεση κορυφών

Re: Εύρεση κορυφών

Re: Εύρεση κορυφών

Μέλη σε σύνδεση