Επιλογή σημείου

KARKAR · #1

: Επιλογή σημείου.png (7.22 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

$\bigstar$ Βρείτε σημείο

της ευθείας y=2x

, για το οποίο είναι SA=2SB

.

Υπάρχει άραγε λύση χωρίς χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων ;

Εκτός ύλης ερώτημα : Πως πιστεύετε ότι εξελίσσεται η διαφορά ,

καθώς το κινείται στο α' τεταρτημόριο ;

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #2

Αφού το

ανήκει στην ευθεία y=2x

θα έχει συντεταγμενες S(x_0,2x_0)

.

Επομένως, ισχύει: $SA=\sqrt{(x_0+4)^2+4x_0^2}= \sqrt{x_0^2+8x_0+16+4x_0^2}=\sqrt{5x_0^2+8x_0+16}$

Αντίστοιχα, ισχύει: $SB=\sqrt{(x_0-2)^2+4x_0^2}=\sqrt{x_0^2-4x_0+4+4x_0^2}=\sqrt{5x_0^2-4x_0+4}$

Η δοθείσα σχέση δίνει: $SA=2SB\Leftrightarrow 5x_0^2+8x_0+16=4(5x_0^2-4x_0+4) \Leftrightarrow 5x_0^2+8x_0+16=20x_0^2-16x_0+16 \Leftrightarrow 15x_0^2-24x_0=0 \Leftrightarrow x_0=\frac{8}{5}$ ,

διότι x_0>0

Άρα, το ζητούμενο σημείο είναι το: $S(\frac{8}{5},\frac{16}{5})$

Η ζητούμενη διαφορά είναι η: $f(x_0)=SA-SB=\sqrt{5x_0^2+8x_0+16}-\sqrt{5x_0^2-4x_0+4}$ . Συνεπώς, ισχύει: $f'(x_0)=\frac{5x_0+4}{\sqrt{5x_0^2+8x_0+16}}-\frac{5x_0-2}{\sqrt{5x_0^2-4x_0+4}}$ .

Η f'(x_0)>0

έχει λύση για $x_0<\frac{8}{5}$ .

Τελικά, για $<0x_0<\frac{8}{5}$ η διαφορά αυξάνεται, ενώ για $x_0\geqslant \frac{8}{5}$ η διαφορά ελαττώνεται.

(Υπέθεσα ότι το

κινείται πάνω στην ευθεία y=2x

)

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 26, 2022 7:11 pm
Επιλογή σημείου.png $\bigstar$ Βρείτε σημείο της ευθείας , για το οποίο είναι .

Υπάρχει άραγε λύση χωρίς χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων ;

Εκτός ύλης ερώτημα : Πως πιστεύετε ότι εξελίσσεται η διαφορά ,

καθώς το κινείται στο α' τεταρτημόριο ;

1. Βρίσκω το συμμετρικό σημείο

του

ως προς

( δηλαδή $C\left( {8,0} \right)$ )

Η ευθεία που δόθηκε ( y = 2x

) και η κάθετος από το

προς αυτή τέμνονται στο

.

( αρμονικότητα γάρ)

2. Βεβαίως έχω και την τομή του Απολλώνιου κύκλου ( για κάθε σημείο

του οποίου $\dfrac{{MA}}{{MB}} = 2$ ) με την δεδομένη ημιευθεία .

3. Βρίσκω το συμμετρικό,

, του

ως προς την δεδομένη ευθεία . Τότε οι $AT\,\,\,$ και αυτή (η ευθεία που δόθηκε ) τέμνονται στο

. (Θ διχοτόμων )

Πολύ καλός ο μαθητής της Α λυκείου Φίλιππας Καλούδης .

: Επιλογή σημείου_Karkar.png (33.56 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Επιλογή σημείου

Επιλογή σημείου

Re: Επιλογή σημείου

Re: Επιλογή σημείου

Μέλη σε σύνδεση