Κωνική οικογένεια

#1

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2{{m}^{2}}x-4my-4=0\,\,\,\,(1)$ με $\displaystyle x,y,m\in R$ .
α) Να δείξετε ότι, καθώς το $\displaystyle m$ διατρέχει το $\displaystyle R$ , η $\displaystyle \,(1)$ παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα .
β) Να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν τα κέντρα των κύκλων.
γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι εφάπτονται σε σταθερή ευθεία .
δ) Να προσδιορίσετε τις περιοχές του επιπέδου από τις οποίες διέρχεται:
i) ακριβώς ένας κύκλος
ii) κανένας κύκλος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Aς δούμε αυτό το θέμα...

α) Αφού $\left ( -2m^{2} \right )^{2}+\left ( -4m \right )-4\left ( -4 \right )=4m^{4}+16m^{2}+16=$

$4\left ( m^{4}+4m^{2}+4 \right )=4\left ( m^{2}+2 \right )^{2}> 0$ για κάθε $m\epsilon \mathbb{R},$

η δοσμένη εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε $m\epsilon \mathbb{R}$

με κέντρο το σημείο $K\left ( m^{2} ,2m\right )$ και ακτίνα ίση με

$\displaystyle R=\frac{\sqrt{4\left ( m^{2}+2 \right )^{2}}}{2}=\left | m^{2}+2 \right |$

β) Φυσικά ισχύει, όπως είδαμε στο α), ότι $x_{K}=m^{2} , y_{K}=2m.$

Aπαλείφουμε το

μεταξύ των δύο αυτών εξισώσεων και καταλήγουμε στην εξίσωση $y^{2}_{K}=4x_{K}.$

Συνεπώς τα κέντρα των κύκλων που παριστάνονται από την $\left ( 1 \right )$ ανήκουν στην παραβολή

με εξίσωση $y^{2}=4x.$

γ) Έστω ότι $\varepsilon : x=-2 .$ Όπως εύκολα διαπιστώνει κάποιος ισχύει ότι $d\left ( K, \varepsilon \right )=\left | m^{2}+2 \right |=R.$

Aυτό σημαίνει ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνονται από την $\left ( 1 \right )$ εφάπτονται της σταθερής ευθείας $\varepsilon : x=-2.$

δ) Όλοι οι κύκλοι που παριστάνονται από την $\left ( 1 \right )$ βρίσκονται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία $\varepsilon$ με $x\geq -2.$

Ουδείς από αυτούς διέρχεται από το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία $\varepsilon$ με x < -2.

#3

α) $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2{{m}^{2}}x-4my-4=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Επειδή : $\displaystyle {{A}^{2}}+{{B}^{2}}-4\Gamma =4{{m}^{4}}+16{{m}^{2}}+16>0$ , έχουμε ότι η (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο
$\displaystyle K({{m}^{2}},2m)$ και ακτίνα $\displaystyle \,R=\frac{\sqrt{4{{m}^{4}}+16{{m}^{2}}+16}}{2}=\frac{2\sqrt{{{m}^{4}}+4{{m}^{2}}+4}}{2}={{m}^{2}}+2$

β) Αν $\displaystyle M(x,y)$ είναι τυχαίο σημείο της γραμμής , τότε:
$\displaystyle \left. \begin{array}{l} x = {m^2}\\ y = 2m \end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l} x = {m^2}\\ {y^2} = 4{m^2} \end{array} \right\} \Rightarrow {y^2} = 4x$
που είναι εξίσωση παραβολής .

γ) Οι εφαπτόμενες στο τυχαίο σημείο $\displaystyle \Nu ({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ του κύκλου έχουν εξίσωση
είτε $\displaystyle x={{x}_{0}}\pm R$ ( παράλληλες στον $\displaystyle {y}'y$ ),
είτε $\displaystyle y-{{y}_{1}}=k(x-{{x}_{1}})\Leftrightarrow -kx+y+k{{x}_{1}}-{{y}_{1}}=0$
Οι εφαπτόμενες που είναι παράλληλες στον $\displaystyle {y}'y$ είναι οι
$\displaystyle x={{m}^{2}}+{{m}^{2}}+2\Leftrightarrow x=2{{m}^{2}}+2$ και $\displaystyle x={{m}^{2}}-{{m}^{2}}-2\Leftrightarrow x=-2$ .
Παρατηρούμε ότι η τελευταία είναι σταθερή ευθεία (ανεξάρτητη του $\displaystyle m$ )

δ)
$\displaystyle \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} - 2{m^2}x - 4my - 4 = 0\, \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow - 2x{m^2} - 4ym + {x^2} + {y^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 2x{m^2} + 4ym - ({x^2} + {y^2} - 4) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}$
Από το τυχαίο σημείο $\displaystyle P(x,y)$ του επιπέδου , διέρχεται κάποιος κύκλος αν η (2) έχει λύση ως προς $\displaystyle m$
Αν $\displaystyle x=0$ τότε η (2) γίνεται $\displaystyle 4ym={{y}^{2}}-4$ και έχει μοναδική λύση για κάθε $\displaystyle y\ne 0$ .
Άρα από το $\displaystyle O(0,0)$ δεν διέρχεται κάποιος κύκλος ενώ από τα υπόλοιπα σημεία του άξονα $\displaystyle {y}'y$
διέρχεται ακριβώς ένας κύκλος της (1) .
Αν $\displaystyle x\ne 0$ , τότε η (2) είναι τριώνυμο ως προς $\displaystyle m$ με $\displaystyle \Delta =16{{y}^{2}}+8x({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4)=8(2{{y}^{2}}+{{x}^{3}}+x{{y}^{2}}-4x)$
Ήδη γνωρίζουμε ότι οι κύκλοι έχουν κέντρα με θετική τετμημένη και ότι
όλοι εφάπτονται στην ευθεία με εξίσωση $\displaystyle x=-2$ ,
Επομένως , από τα σημεία $\displaystyle P(x,y)$ με $\displaystyle x<-2$ δεν διέρχεται κανένας κύκλος της (1) .
Η (2) έχει μια τουλάχιστον λύση αν $\displaystyle \Delta \ge 0$ .
H διακρίνουσα γράφεται : $\displaystyle 8({{x}^{3}}+({{y}^{2}}-4)x+2{{y}^{2}})$ .
Με σχήμα Horner γίνεται :
$\displaystyle \,\,\begin{matrix} 1 & 0 & {{y}^{2}}-4 \\ {} & -2 & 4 \\ 1 & -2 & {{y}^{2}} \\ \end{matrix}\,\,\,\,\,\begin{matrix} 2{{y}^{2}} \\ -2{{y}^{2}} \\ 0 \\ \end{matrix}\,\,\,\,\,\,\,\begin{matrix} -2 \\ {} \\ {} \\ \end{matrix}$
Άρα : $\displaystyle \Delta =8(x+2)({{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}})=8(x+2)({{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}-1)=8(x+2)[{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}-1]$

ι) $\displaystyle \Delta =0\Leftrightarrow x+2=0$ ή $\displaystyle {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ ,οπότε από τα σημεία της ευθείας $\displaystyle x=-2$ και του κύκλου $\displaystyle {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ διέρχεται ακριβώς ένας κύκλος της οικογένειας (1) .

ιι) Επειδή $\displaystyle x\ge -2$ θα είναι :
$\displaystyle \Delta <0\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}-1<0\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}<1$ , δηλαδή από τα εσωτερικά σημεία του κύκλου δεν διέρχεται κανένας κύκλος της οικογένειας (1) .
Τελικά :
• Από τα σημεία που βρίσκονται αριστερά της ευθείας $\displaystyle x=-2$ , από το $\displaystyle O(0,0)$ και από τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με εξίσωση $\displaystyle {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ δεν διέρχεται κανένας κύκλος
• Από τα σημεία της ευθείας $\displaystyle x=-2$ , και τα σημεία του κύκλου $\displaystyle {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ (εκτός του $\displaystyle O(0,0)$ ) διέρχεται ένας ακριβώς κύκλος
• Από όλα τα άλλα σημεία του επιπέδου διέρχονται δύο κύκλοι .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Oφείλω να ομολογήσω ότι παρερμήνευσα αυτό που ζητούσε το δ)
Βλέποντας ότι τα τρία πρώτα ερωτήματα έχουν μάλλον προσιτή λύση, σκέφτηκα ότι κάτι αντίστοιχο πρέπει να ισχύει και για το τέταρτο.
Έγραψα κάτι που ήταν σωστό αλλά όχι πλήρες. Τα είδα κάπως επιπόλαια τα πράγματα στο δ).
Να ευχαριστήσω το Γιώργο Καλαθάκη για το σχήμα-που ξεκαθαρίζει το δ)-και τη λύση.

Κωνική οικογένεια

Κωνική οικογένεια

Re: Κωνική οικογένεια

Re: Κωνική οικογένεια

Re: Κωνική οικογένεια

Μέλη σε σύνδεση