Άλγεβρα Α΄ Λυκείου ή διανύσματα;;; Μάλλον και τα δύο!!!

#1

Να μετατραπεί η ακόλουθη άσκηση σε άσκηση διανυσμάτων και στη συνέχεια να λυθεί διανυσματικά.
Αν a^2+x^2=1,b^2+y^2=1,ay-bx=1

, να αποδείξετε ότι a^2+b^2=1

.

#2

Θεωρούμε τα διανύσματα $\displaystyle{ \overrightarrow u = \left( {\alpha ,x} \right) }$ και $\displaystyle{ \overrightarrow v = \left( {y, - b} \right) }$ . Τότε είναι $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {\alpha ^2 + x^2 } \mathop \Rightarrow \limits^{\alpha ^2 + x^2 = 1} \boxed{\left| {\overrightarrow u } \right| = 1}:\left( 1 \right) }$ και $\displaystyle{ \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {y^2 + \left( { - b} \right)^2 } = \sqrt {y^2 + b^2 } \mathop \Rightarrow \limits^{y^2 + b^2 = 1} \boxed{\left| {\overrightarrow v } \right| = 1}:\left( 2 \right) }$

Τότε $\displaystyle{ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \alpha y - bx\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha y - bx = 1} \boxed{\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 1}:\left( 3 \right) }$ (το άθροισμα των γινομένων των ομονύμων συντεταγμένων)

Όμως $\displaystyle{ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right|\sigma \upsilon \nu \left( {\widehat{\overrightarrow u ,\overrightarrow v }} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)} 1 = 1 \cdot 1 \cdot \sigma \upsilon \nu \left( {\widehat{\overrightarrow u ,\overrightarrow v }} \right) \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {\widehat{\overrightarrow u ,\overrightarrow v }} \right) = 1 \Rightarrow \left( {\widehat{\overrightarrow u ,\overrightarrow v }} \right) = 0 \Rightarrow \overrightarrow u \uparrow \uparrow \overrightarrow v \mathop \Rightarrow \limits^{\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| = 1} }$

$\displaystyle{ \overrightarrow u = \overrightarrow v \mathop \Rightarrow \limits^{\overrightarrow u = \left( {\alpha ,x} \right),\overrightarrow v = \left( {y, - b} \right)} \left\{ \begin{gathered} \alpha = y \\ \wedge \\ x = - b \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha ^2 + x^2 = 1} \alpha ^2 + \left( { - b} \right)^2 = 1 \Rightarrow \boxed{\alpha ^2 + b^2 = 1} }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Eukleidis · #3

Εναλλακτικά, με μια λύση ύλης Α' Λυκείου:

$\displaystyle{{\left( {a - y} \right)^2} + {\left( {b + x} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {x^2} + {y^2} - 2ay + 2bx = 2 - 2\left( {ay - bx} \right) = 0}$
Συνεπώς $\displaystyle{a = y \wedge b = - x}$ από οπου αντικαθιστώντας στην πρώτη δοσμένη παίρνουμε το ζητούμενο.

#4

Πολύ ωραία

Τι λέτε γι' αυτήν:

Έστω τα διανύσματα $\displaystyle{\vec{u}=(a,x),\vec{v}=(y,-b}),\vec{w}=\left ( \vec{u}\vec{i}, -\vec{v}\vec{j} \right )}$
για τα οποία ισχύουν $\displaystyle{|\vec{u}|=1, |\vec{v}|=1,\vec{u}\vec{v}=1}$ . Να αποδείξετε ότι $|\vec{w}|=1$ .

gbag · #5

Είναι $\vec{w}=(a,-b)$ τότε $\left|\vec{w} \right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
από $\vec{u}\vec{v}=1$ έχουμε $(\hat{\vec{u},\vec{v}})=0$ άρα ομόροπα
με $\vec{u}=\lambda \vec{v}$ οπότε λ=1.Αρα $\vec{u}=\vec{v}$ οπότε a=y kai x=-b
συνεπώς το ζητούμενο.

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου ή διανύσματα;;; Μάλλον και τα δύο!!!

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου ή διανύσματα;;; Μάλλον και τα δύο!!!

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου ή διανύσματα;;; Μάλλον και τα δύο!!!

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου ή διανύσματα;;; Μάλλον και τα δύο!!!

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου ή διανύσματα;;; Μάλλον και τα δύο!!!

Re: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου ή διανύσματα;;; Μάλλον και τα δύο!!!

Μέλη σε σύνδεση