Ισότητα διανυσμάτων

KARKAR · #1

: Ισότητα διανυσμάτων.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 1351 φορές

Στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε τυχόν σημείο

.

Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο ASP

και εν συνεχεία το επίσης ισόπλευρο

και έξω από το $\displaystyle ABC$ , τρίγωνο CPT

. Δείξε ότι : $\vec{ST}=\vec{BC}$

Βαγγέλης Κωστούλας · #2

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα BSA

και

. Είναι

( αφού το

είναι ισόπλευρο) και AS=AP

(το

επίσης ισόπλευρο). Επίσης $\widehat{BAS}=\widehat{BAC}-\widehat{SAC}$ και $\widehat{CAP}=\widehat{SAP}-\widehat{SAC}$ και επειδή $\widehat{BAC}=\widehat{SAP}$ προκύπτει από τις δύο τελευταίες σχέσεις ότι $\widehat{BAS}=\widehat{CAP}$ . Δείξαμε ότι τα τρίγωνα BAS

και

είναι ίσα. Άρα BS=CT(1)

Κάνουμε το ίδιο για τα τρίγωνα CAP

και

. Αυτά έχουν: CP=PT

(το

είναι ισόπλευρο), SP=AP

(το

είναι ισόπλευρο) και $\widehat{APC}=\widehat{APS}+\widehat{SPC}=60^{\circ}+\widehat{SPC}=\widehat{CPT}+\widehat{SPC}=\widehat{SPT}$ , δηλαδή και τα τρίγωνα CAP

και

είναι ίσα. Άρα $ST=AC\Leftrightarrow ST=BC(2)$ .

Σύμφωνα με τις σχέσεις (1)

και

, το τετράπλευρο BSTC

έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες, συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο. Αυτό σημαίνει ότι $ST\parallel BC$ και αφού BS=CT

, τα διανύσματα $\vec{ST},\vec{BC}$ είναι ομόρροπα και έχουν ίδιο μέτρο, δηλαδή $\vec{ST}=\vec{BC}$ .

Μιας και είμαι καινούριος, υπάρχει κάποιος τρόπος ώστε να γράφω πιο γρήγορα; Χρειάστηκε να ανοίξω το EqEditor πολλές φορές και αυτό με κούρασε αρκετά. Ευχαριστώ.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 16, 2018 8:47 pm
Ισότητα διανυσμάτων.pngΣτο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ θεωρούμε τυχόν σημείο .

Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο και εν συνεχεία το επίσης ισόπλευρο

και έξω από το $\displaystyle ABC$ , τρίγωνο . Δείξε ότι : $\vec{ST}=\vec{BC}$

Με πρόλαβαν. κάτι παρεμφερές ( με σχήμα).

: Ισότητα διανυσμάτων.png (29.34 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές

Τα τρίγωνα , $ABS\,\kappa \alpha \iota \,ACP$ έχουν: $AB = AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \omega = {\widehat \omega _1}$ ως

συμπληρώματα $60^\circ$ της γωνίας $\widehat {SAC}$ και άρα είναι ίσα .

Θα έχουν έτσι , $\widehat \theta = \widehat {{\theta _1}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS = CP = CT$ αφού δε

$\widehat {SBC} + \widehat {BCT} = 60^\circ - \widehat \theta + 120 + \widehat {{\theta _1}} = 180^\circ$ το τετράπλευρο BCTS

είναι

παραλληλόγραμμο , θα είναι : $\overrightarrow {ST} = \overrightarrow {BC}$ .

Ισότητα διανυσμάτων

Ισότητα διανυσμάτων

Re: Ισότητα διανυσμάτων

Re: Ισότητα διανυσμάτων

Μέλη σε σύνδεση