Αποδεικτική άσκηση διανυσματικού λογισμού

Rafaelcrete · #1

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ABC

και σημεία

,

τέτοια ώστε $\overrightarrow { AD }=\frac{1}{4}\overrightarrow { AB }$ , $\overrightarrow { BE }=\frac{4}{5}\overrightarrow { BC }$ .Να δείξετε ότι η

διχοτομείται από την AE.

#2

Rafaelcrete έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 15, 2019 8:45 pm
Δίνεται τυχαίο τρίγωνο και σημεία , τέτοια ώστε $\overrightarrow { AD }=\frac{1}{4}\overrightarrow { AB }$ , $\overrightarrow { BE }=\frac{4}{5}\overrightarrow { BC }$ .Να δείξετε ότι η διχοτομείται από την

Αν

το μέσον της

, αρκεί να δείξουμε ότι για κάποιο $\lambda$ είναι $\overrightarrow { AM }= \lambda \overrightarrow { AE }$ . Έχουμε

$\overrightarrow { AM }= \frac {1}{2} \overrightarrow { AD }+ \frac {1}{2} \overrightarrow { AC }= \frac {1}{8} \overrightarrow { AB }+ \frac {1}{2} (\overrightarrow { AB} +\overrightarrow {BC })= \frac {5}{8} \overrightarrow { AB }+ \frac {1}{2} \cdot \frac {5}{4} \overrightarrow {BE }=\frac {5}{8} (\overrightarrow { AB }+ \overrightarrow {BE } )=\frac {5}{8}\overrightarrow { AE }$

KARKAR · #3

: men.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 1259 φορές

Γι αυτά τα θέματα αγαπήσαμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Rafaelcrete έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 15, 2019 8:45 pm
Δίνεται τυχαίο τρίγωνο και σημεία , τέτοια ώστε $\overrightarrow { AD }=\frac{1}{4}\overrightarrow { AB }$ , $\overrightarrow { BE }=\frac{4}{5}\overrightarrow { BC }$ .Να δείξετε ότι η διχοτομείται από την

Θα χρησιμοποιήσω το παρακάτω αποτέλεσμα.

Αν $k\vec{a}+l\vec{b}=\vec{0}$ και τα $\vec{a},\vec{b}$ είναι μη συγγραμμικά τότε k=l=0.

Αυτό υπήρχε σαν άσκηση σε παλαιότερες εκδόσεις του σχολικού αλλά πλέον έχει αφαιρεθεί αν δεν κάνω λάθος.

Το λόγο δεν τον γνωρίζω.

Έστω

το σημείο τομής των DC,AE.

Έστω $\vec{DO}=k\vec{DC},\vec{AO}=l\vec{AE.}$

Αφαιρούμε και έχουμε $\vec{DO}+\vec{OA}=k\vec{DC}-l\vec{AE}\Rightarrow \dfrac{1}{4}\vec{BA}=k\vec{DC}-l\vec{AE}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{4}\left (\vec{BC} +\vec{CA} \right )=k\left (\vec{AC} -\vec{AD} \right )-l\left (\vec{CE}-\vec{CA} \right )\Rightarrow ...$

$\Rightarrow \left ( -\dfrac{3}{4}k+l-\dfrac{1}{4} \right )\vec{AC}+ \left ( \dfrac{1}{4}k-\dfrac{1}{5}l-\dfrac{1}{4} \right )\vec{CB}.$

Επειδή τα $\vec{CB},\vec{AC}$ είναι μη συγγραμμικά αναγκαστικά οι συντελεστές είναι

.

Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε ότι $k=\dfrac{1}{2}$ όπως θέλαμε.

KARKAR · #5

: OH.png (17.82 KiB) Προβλήθηκε 1223 φορές

Με την άδεια , ελπίζω ( ! ) , του θεματοδότη , θέτω ένα κλασικό θέμα : Αν :

O,H

το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα , τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

να δειχθεί ότι : $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ .

#6

Βλέπω μα πρόλαβαν πάρα πολλοί

την αφήνω για τον κόπο

Ας είναι : $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {BC} = \overrightarrow c \hfill \\ \overrightarrow {BD} = \overrightarrow d \hfill \\ \overrightarrow {BM} = \overrightarrow x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {BE} = \frac{4}{5}\overrightarrow c \hfill \\ \overrightarrow {BA} = \frac{4}{3}\overrightarrow d \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , όπου

το σημείο τομής των $AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ .

Θα ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow x = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DM} \hfill \\ \overrightarrow x = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow x = \overrightarrow d + x\overrightarrow {DC} \hfill \\ \overrightarrow x = \frac{4}{3}\overrightarrow d + y\overrightarrow {AE} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,x,y \in \mathbb{R}$ και άρα :

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow x = \overrightarrow d + x\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow d } \right) \hfill \\ \overrightarrow x = \frac{4}{3}\overrightarrow d + y\left( {\frac{4}{5}\overrightarrow c - \frac{4}{3}\overrightarrow d } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow x = \left( {1 - x} \right)\overrightarrow d + x\overrightarrow c \hfill \\ \overrightarrow x = \left( {\frac{4}{3} - \frac{{4y}}{3}} \right)\overrightarrow d + \frac{{4y}}{3}\overrightarrow c \hfill \\ \end{gathered} \right.\,$

Επειδή κάθε διάνυσμα του επιπέδου εκφράζεται μονοσήμαντα ως γραμμικός

συνδυασμός δύο μη παραλλήλων διανυσμάτων θα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} x = \frac{1}{2} \hfill \\ y = \frac{5}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\overrightarrow x = \frac{{\overrightarrow d + \overrightarrow c }}{2}}$ και άρα το

είναι μέσο του

Παρατήρηση :

Η άσκηση έχει πολύ πιο απλή λύση με αναλυτική γεωμετρία ή Ευκλείδεια Γεωμετρία

: Διανύσματα με Ευκλείδεια.png (16.54 KiB) Προβλήθηκε 1209 φορές

Αν η από το

παράλληλη στην

κόψει την

στο

θα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} u + k = 4y \hfill \\ \frac{u}{k} = \frac{{3x}}{x} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{k = y}$ .

Δηλαδή το

είναι το μέσο του

άρα και το

είναι μέσο του

Αποδεικτική άσκηση διανυσματικού λογισμού

Αποδεικτική άσκηση διανυσματικού λογισμού

Re: Αποδεικτική άσκηση διανυσματικού λογισμού

Re: Αποδεικτική άσκηση διανυσματικού λογισμού

Re: Αποδεικτική άσκηση διανυσματικού λογισμού

Re: Αποδεικτική άσκηση διανυσματικού λογισμού

Re: Αποδεικτική άσκηση διανυσματικού λογισμού

Μέλη σε σύνδεση