Ισότητα ανομοίων

KARKAR · #1

: Ισότητα ανομοίων.png (9.7 KiB) Προβλήθηκε 1382 φορές

Η ευθεία $y=\dfrac{x}{\lambda}-b$ τέμνει τις πλευρές OA , AB

του ορθογωνίου OABC

στα σημεία P , Q

, ενώ η : $y=\dfrac{x}{\lambda}+b$

τέμνει τις OC , BC

στα

. Δείξτε ότι το τετράπλευρο PQST

είναι παραλληλόγραμμο , του οποίου η μεν περίμετρος

είναι σταθερή , το δε εμβαδόν παίρνει μέγιστη τιμή . Υπολογίστε τα $\lambda , b$ , έτσι ώστε κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης

του εμβαδού , η περίμετρος και το εμβαδόν να εκφράζονται με τον ίδιο αριθμό .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 20, 2025 11:01 am
Ισότητα ανομοίων.pngΗ ευθεία $y=\dfrac{x}{\lambda}-b$ τέμνει τις πλευρές του ορθογωνίου στα σημεία , ενώ η : $y=\dfrac{x}{\lambda}+b$

τέμνει τις στα . Δείξτε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο , του οποίου η μεν περίμετρος

είναι σταθερή , το δε εμβαδόν παίρνει μέγιστη τιμή . Υπολογίστε τα $\lambda , b$ , έτσι ώστε κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης

του εμβαδού , η περίμετρος και το εμβαδόν να εκφράζονται με τον ίδιο αριθμό .

Προφανώς

και εύκολα βρίσκουμε ότι CT=AQ=5-b

και $CS=PA=(5-b)\lambda.$ Άρα

PQ=TS

και το

είναι παραλληλόγραμμο. Είναι ακόμα TP=2OM=OM+NB,

οπότε η

περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι p = 2(TP + PQ) = 2(OM + NB + MN) = 2OB.

Άρα, $p= 10\sqrt {{\lambda ^2} + 1},$ δηλαδή η περίμετρος είναι σταθερή.

: Ισότητα ανομοίων.png (22.99 KiB) Προβλήθηκε 1364 φορές

Το εμβαδόν γίνεται μέγιστο όταν οι κορυφές του γίνουν μέσα των πλευρών του ορθογωνίου. Αυτό συμβαίνει

στη θέση P'Q'S'T',

που φαίνεται στο σχήμα και το παραλληλόγραμμο καθίσταται ρόμβος. Τότε το εμβαδόν

του είναι $\displaystyle E = \frac{{25\lambda }}{2} = 10\sqrt {{\lambda ^2} + 1} \Leftrightarrow$ $\boxed{\lambda=\frac{4}{3}}$ και $\boxed{b=\frac{5}{2}}$ με μέγιστο εμβαδόν $\dfrac{50}{3}.$

Ισότητα ανομοίων

Ισότητα ανομοίων

Re: Ισότητα ανομοίων

Μέλη σε σύνδεση