Έλλειψη με ευκλείδεια

geomyljason · #1

Μπορούμε την πιο κάτω άσκηση να τη λύσουμε με ευκλείδεια γεωμετρία Λυκείου;
Από το τυχαίο σημείο Ρ της έλλειψης $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ φέρουμε τη ΡΚ κάθετη στον άξονα Οy (Κ το ίχνος της κάθετης). Προεκτείνουμε την ΚΡ κατά τμήμα ΡΤ=ΡΚ.
Αν Ο το κέντρο της έλλειψης και Α η κορυφή της (α,0) να βρεθεί η εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των ευθειών ΟΡ και ΑΤ .

#2

Διαγράφεται.

#3

βγάζω ότι το σημείο Μ διαγράφει την παραβολή $y_{M}^2=\frac{b^2}{a}(2x_{M}+a)$

Δώσε κίνηση στο Ρ και το Μ διαγράφει παραβολή

#4

Καλημέρα

Συμφωνώ με το Χρήστο.

Έστω A(a,0),P(p,q), M(x,y)

, οπότε θα είναι T(2p,q)

. Οι ευθείες OP, AT

έχουν εξισώσεις:
$\displaystyle{OP:y = \frac{q}{p}x}$ και $\displaystyle{AT:y = \frac{q}{{2p - a}}(x - a)}$ , απ' όπου βρίσκουμε:

$\displaystyle{x = \frac{{ap}}{{a - p}}}$ ή $\boxed{p = \frac{{ax}}{{a +x}}}$ (1)

και επειδή το

ανήκει στην έλλειψη θα είναι

$\displaystyle{{q^2} = \frac{{{b^2}\left( {{a^2} - {p^2}} \right)}}{{{a^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{{q^2} = \frac{{a{b^2}(2x + a)}}{{{{(a + x)}^2}}}}$ (2)

: Έλλειψη.png (11.88 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Από την

και τη

η σχέση $\displaystyle{y = \frac{q}{p}x}$ καταλήγει στην εξίσωση της παραβολής $\boxed{{y^2} = \frac{{{b^2}}}{a}(2x + a)}$ πάνω στην οποία κινείται το σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου.

#5

[Συγγνώμην κατ' αρχήν για την χθεσινοβραδινή βιαστική και εσφαλμένη απάντηση

]

Από τα αποτελέσματα των συναδέλφων προκύπτει ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι παραβολή εστίας $(\displaystyle\frac{b^2-a^2}{2a}, 0)$ και διευθετούσας $x=-\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2a}$ . Μπορούμε να δώσουμε μια πραγματικά Ευκλείδεια απόδειξη γι αυτό το αποτέλεσμα;

[Αρχίζοντας από την ειδική περίπτωση a=b

, ας δείξουμε ότι αν |PT|=|PK|

τότε

.]

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

gbaloglou έγραψε:[Αρχίζοντας από την ειδική περίπτωση , ας δείξουμε ότι αν τότε .]

Αν δηλαδή η έλλειψη είναι κύκλος ... τότε ο γεωμετρικός τόπος είναι παραβολή με εστία το κέντρο του κύκλου

και διευθετούσα την εφαπτομένη στο συμμετρικό του

ως προς το

: εύκολο να αποδειχθεί, και με απόδειξη απολύτως Ευκλείδεια!

Γιώργος Μπαλόγλου

#7

gbaloglou έγραψε:
gbaloglou έγραψε:[Αρχίζοντας από την ειδική περίπτωση , ας δείξουμε ότι αν τότε .]
Αν δηλαδή η έλλειψη είναι κύκλος ... τότε ο γεωμετρικός τόπος είναι παραβολή με εστία το κέντρο του κύκλου και διευθετούσα την εφαπτομένη στο συμμετρικό του ως προς το : εύκολο να αποδειχθεί, και με απόδειξη απολύτως Ευκλείδεια!

Γιώργος Μπαλόγλου

Καλησπέρα Γιώργο.

Έστω

το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον κύκλο, $\delta$ η εφαπτομένη του κύκλου στο

,

η προβολή του

πάνω στην ευθεία $\delta$ και

η προβολή του

στην

.

: Έλλειψη με Ευκλείδεια.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

$\displaystyle{PT//OA \Leftrightarrow \frac{{MP}}{{MO}} = \frac{{PT}}{R}}$ , $\displaystyle{KP//HM \Leftrightarrow \frac{R}{{OM}} = \frac{{KP}}{{HM}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{KP = PT} \frac{{PT}}{R} = \frac{{HM}}{{MO}}}$

Άρα $\displaystyle{HM = MP \Leftrightarrow HM + R = MP + R \Leftrightarrow }$ $\boxed{MO=MS}$

To τυχαίο λοιπόν σημείο

ισαπέχει από το σταθερό σημείο

και από τη σταθερή ευθεία $\delta$ , οπότε θα ανήκει σε παραβολή με εστία το

και διευθετούσα την ευθεία $\delta$ .

#8

Γιώργο ευχαριστώ, κι εγώ κάτι ανάλογο έκανα, εκμεταλλευόμενος την συνευθειακότητα των M, K, A'.

Για την γενικότερη περίπτωση ( $a\neq b$ ) δεν ξέρω αν μπορούν οι συντεταγμένες που βρήκαμε να μας δείξουν κάποιο δρόμο επίλυσης, να μας δείξουν ΠΟΥ βρίσκονται η εστία και η διευθετούσα -- χάσαμε δυστυχώς κάποιες δεξιότητες που διέθεταν οι αρχαίοι ημών πρόγονοι

Γιώργος Μπαλόγλου

#9

gbaloglou έγραψε: Για την γενικότερη περίπτωση ( $a\neq b$ ) δεν ξέρω αν μπορούν οι συντεταγμένες που βρήκαμε να μας δείξουν κάποιο δρόμο επίλυσης, να μας δείξουν ΠΟΥ βρίσκονται η εστία και η διευθετούσα -- χάσαμε δυστυχώς κάποιες δεξιότητες που διέθεταν οι αρχαίοι ημών πρόγονοι

Γιώργος Μπαλόγλου

Προσπάθησα σήμερα το πρωί να εξετάσω τη γενική περίπτωση, αλλά δυστυχώς δεν μπόρεσα να βγάλω κάτι

Έλλειψη με ευκλείδεια

Έλλειψη με ευκλείδεια

Re: Έλλειψη με ευκλείδεια

Re: Έλλειψη με ευκλείδεια

Re: Έλλειψη με ευκλείδεια

Re: Έλλειψη με ευκλείδεια

Re: Έλλειψη με ευκλείδεια

Re: Έλλειψη με ευκλείδεια

Re: Έλλειψη με ευκλείδεια

Re: Έλλειψη με ευκλείδεια

Μέλη σε σύνδεση