Β ' Λυκείου

tsolis · #1

Αν $x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$ πραγματικοί αριθμοί και ισχύει:
$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-6x_{1}-8y_{1}+24=0$ και $3x_{2}+4y_{2}-5=0$ .
Να αποδείξετε ότι $(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\geq 9$ .

#2

Το σημείο $\displaystyle{(x_1,y_1)}$ ανήκει στον κύκλο

$\displaystyle{(x-3)^2+(y-4)^2=1}$ .

Βρίσκουμε την απόσταση του κύκλου από την ευθεία (ε1): $\displaystyle{3x+4y-5=0}$ :
αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής του κύκλου και της ευθείας (ε1) με την ευθεία (ε2) η οποία διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και είναι κάθετη στην (ε1), (άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{4/3}$ ).

Η (ε2), λοιπόν, έχει εξίσωση: $\displaystyle{3y=4x}$ .

Το σημείο τομής της (ε2) με τον κύκλο το οποίο είναι πιο κοντα στην (ε1) είναι το $\displaystyle{(12/5,16/5)}$ . Το σημείο τομής της (ε2) με την ευθεία (ε1) είναι το $\displaystyle{(3/5,4/5)}$ .

Άρα

$\displaystyle{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\geq \left(\frac{12}{5}-\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{16}{5}-\frac{4}{5}\right)^2=9}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

: tsolis.png (21.05 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

Β ' Λυκείου

Β ' Λυκείου

Re: Β ' Λυκείου

Re: Β ' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση