Mix 19

erxmer · #1

Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές $A(2a-1,3a+2), B(1,2), \Gamma(2,3)$ όπου $a \in \mathbb{R}-\{2\}$ .

1) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων

στο επίπεδο

Για a=1

να βρείτε

2) Το εμβαδόν του τριγώνου $AB\Gamma$ .

3) Την μεσοκάθετη (ε) του $B\Gamma$ .

4) Tις συντεταγμένες του ορθόκεντρου του τριγώνου $AB\Gamma$ .

5) Την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το

και να εφάπτεται στην (ε)

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές $A(2a-1,3a+2), B(1,2), \Gamma(2,3)$ όπου $a \in \mathbb{R}-\{2\}$ .

1) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων στο επίπεδο

Για να βρείτε

2) Το εμβαδόν του τριγώνου $AB\Gamma$ .

3) Την μεσοκάθετη (ε) του $B\Gamma$ .

4) Tις συντεταγμένες του ορθόκεντρου του τριγώνου $AB\Gamma$ .

5) Την εξίσωση του κύκλου με κέντρο το και να εφάπτεται στην (ε)

$\bullet$ 1) $\left\{ \begin{gathered} x = 2a - 1 \hfill \\ y = 3a + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x = 3a - 3 \\ - 2y = - 6a - 4 \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} \boxed{3x - 2y + 7 = 0}:\left( 1 \right)$ και συνεπώς το κινείται στην ευθεία με εξίσωση .

$\bullet$ 2) Για $A = 1 \Rightarrow A\left( {1,5} \right)$ . Είναι $\overrightarrow {AB} = \left( {0, - 3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1, - 2} \right)$ οπότε $\left( {ABC} \right) = \dfrac{1}{2}\left| {\det \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 3} \\ 1&{ - 2} \end{array}} \right|} \right| = \dfrac{3}{2}\tau .\mu$ .

$\bullet$ 3) Αν $\Mu$ είναι το μέσο της $BC\Rightarrow M\left( \dfrac{1+2}{2},\dfrac{2+3}{2} \right)\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2} \right)$ .

Επίσης ${\lambda _{BC}} = \dfrac{{3 - 2}}{{2 - 1}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \varepsilon \right) \bot BC} {\lambda _{\left( \varepsilon \right)}} = - 1 \Rightarrow$ $\left( \varepsilon \right):y - \dfrac{5}{2} = - 1\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right) \Rightarrow \ldots \boxed{\left( \varepsilon \right):x + y - 4 = 0}$ .

$\bullet$ 4) Με ${{x}_{A}}={{x}_{B}}=1$ η εξίσωση της εκ του ευθείας του ύψους είναι $\left( {{\upsilon }_{C}} \right):y={{y}_{C}}=3$ .

Η εξίσωση της είναι $BC:y - 2 = x - 1 \Leftrightarrow \boxed{BC:x - y + 1 = 0}$ οπότε η εκ του εξίσωση του ύψους θα είναι $\left( {{\upsilon _A}} \right):y - 5 = - 1\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \ldots \boxed{\left( {{\upsilon _A}} \right):x + y - 6 = 0}$ .

Οι συντεταγμένες του ορθοκέντρου του τριγώνου $\vartriangle ABC$ θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των $\left( {{\upsilon }_{A}} \right),\left( {{\upsilon }_{C}} \right)$ .

Είναι $\left\{ \begin{gathered} y = 3 \\ x + y - 6 = 0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots x = y = 3 \Rightarrow H\left( {3,3} \right)$ το ορθόκεντρο του τριγώνου
$\bullet$ 5) Για να εφάπτεται στην $\left( \varepsilon \right):x+y-4=0$ και να έχει κέντρο θα έχει ακτίνα

$r = d\left( {A,\left( \varepsilon \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 5 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \Rightarrow \ldots r = \sqrt 2$ οπότε η εξίσωση του ζητουμένου κύκλου θα είναι $\boxed{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 5} \right)}^2} = 2}$

Στάθης

Mix 19

Mix 19

Re: Mix 19

Μέλη σε σύνδεση