Mix 20

erxmer · #1

Δίνονται οι κύκλοι με εξισώσεις 2x^2+2y^2+5x-y+1=0, x^2+y^2+2x-1=0

.

1) Nα βρεθούν τα κέντρα και οι ακτίνες τους

2) Να αποδειχθεί οτι τέμνονται εσωτερικά και να βρεθεί το σημείο επαφής τους

3) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής τους εφαπτομένης

4) Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών για τις οποίες η ανωτέρω ευθεία είναι η μεσοπαράλληλη τους, αν γνωρίζουμε οτι μια εξ αυτών είναι και ταυτόχρονα εφαπτομένη (διαφορετική απο την κοινή) του κύκλου με την μικρότερη ακτίνα

5) Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου που εχει κέντρο το σημείο (1,0)

και εφάπτεται της κοινής εξωτερικής εφαπτομένης των δυο κύκλων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

Γιώργος Απόκης · #3

Κάνω μια αρχή...

1) Έχουμε $\displaystyle 2x^2+2y^2+5x-y+1=0\Leftrightarrow x^2+y^2+\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=0$

με $\displaystyle A^2+B^2-4\Gamma=\frac{25}{4}+\frac{1}{4}-2=\frac{9}{2}>0$ άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με $\displaystyle K_1\left(-\frac{5}{4},\frac{1}{4}\right)$ και $\displaystyle r_1=\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Επίσης, $\displaystyle x^2+y^2+2x-1=0\Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2=2\Leftrightarrow (x+1)^2+y^2=2$ δηλαδή κύκλος με $\displaystyle K_2\left(-1,0\right)$ και $\displaystyle r_2=\sqrt{2}$

2) Το μήκος της διακέντρου είναι : $\displaystyle (K_1K_2)=\sqrt{\left(-\frac{5}{4}+1\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}=r_2-r_1$

άρα οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά. Για το σημείο επαφής, αφαιρούμε τις εξισώσεις κατά μέλη και έχουμε $\displaystyle y=x+3$ .

Aντικαθιστούμε και έχουμε την εξίσωση : $\displaystyle x^2+(x+3)^2+2x-1=0\Leftrightarrow 2x^2+8x+8=0\Leftrightarrow x=-2$ και άρα $\displaystyle y=1$ .

Άρα το κοινό σημείο είναι το $\displaystyle A(-2,1)$

3) H εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα $\displaystyle AK_2$ άρα θα ισχύει : $\displaystyle \lambda=-\frac{1}{\lambda_{AK_2}}=1$ και αφού διέρχεται από το

$\displaystyle A(-2,1)$ θα έχει εξίσωση $\displaystyle y-1=1(x+2)\Leftrightarrow y=x+3$

: k1-k2.jpg (18.45 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές

Σταμ. Γλάρος · #4

Συνεχίζω από εκεί που σταμάτησε ο Γιώργος...

: Mix 20.png (308.08 KiB) Προβλήθηκε 1043 φορές

4) Το σημείο επαφής των δύο κύκλων, είναι το A(-2,1)

. Βρίσκω το αντιδιαμετρικό του στον κύκλο (K_1,r)

.
Είναι το $B\left ( -\dfrac{1}{2} , -\dfrac{1}{2} \right )$ .
Έστω M(x,y)

σημείο της εφαπτομένης $(\varepsilon_1 )$ του κύκλου (K_1,r)

στο σημείο

.
Ισχύει $\vec{BM}\cdot \vec{BK_1}=0$ $\Leftrightarrow$ $(\varepsilon_1 ): y=x$ όπου $\vec{BM}=\left ( x+\frac{1}{2}, y+\frac{1}{2}\right )$ και $\vec{BK_1}= \left ( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right )$ .
Έστω, τώρα M(x,y)

σημείο της ευθείας $(\varepsilon_2)$ με $(\varepsilon)$ μεσοπαράλληλη των $(\varepsilon_1),(\varepsilon_2)$ .
Είναι $d(M,\varepsilon )=d(B,\varepsilon )\Leftrightarrow \dfrac{\left | x-y+3 \right |}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left |- \frac{1}{2} +\frac{1}{2}+3\right |}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow (\varepsilon _2):y=x+6$ .

5) Αφού ο κύκλος (K,R)

με

εφάπτεται της κοινής εφαπτομένης των δύο κύκλων πρέπει να ισχύει:
$d(K,\varepsilon )=R\Leftrightarrow R=\dfrac{\left |1-0+3\right |}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ .
Άρα η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου είναι (x-1)^2 + y^2 = 8

.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Mix 20

Mix 20

Re: Mix 20

Re: Mix 20

Re: Mix 20

Μέλη σε σύνδεση