Υπερβολές

KARKAR · #1

: Υπερβολές.png (22.9 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Του κύκλου : x^2+y^2=4

, σχεδιάσαμε τη διάμετρο

, που βρίσκεται πάνω στον x'x

. Μια χορδή του ,

,

κινείται , παραμένοντας κάθετη στον x'x

. Οι ευθείες DA,DB

τέμνουν την εφαπτομένη του κύκλου στο

, στα

σημεία P,S

. Δείξτε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε γνωστή καμπύλη , της οποίας βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση .

Σταμ. Γλάρος · #2

KARKAR έγραψε:Υπερβολές.pngΤου κύκλου : , σχεδιάσαμε τη διάμετρο , που βρίσκεται πάνω στον . Μια χορδή του , ,

κινείται , παραμένοντας κάθετη στον . Οι ευθείες τέμνουν την εφαπτομένη του κύκλου στο , στα

σημεία . Δείξτε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε γνωστή καμπύλη , της οποίας βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση .

Καλησπέρα

και Χρόνια πολλά !

Μια προσπάθεια ...
Έστω E(t,0)

σημείο της

με $t \in [-2,2].$
H ευθεία $(\eta ):x=t$ τέμνει τον κύκλο (C)

, στα σημεία

,

.
Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων των (C)

, $(\eta )$ βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής.
Είναι $C\left ( t, \sqrt{4-t^2} \right )$ και $D\left ( t, -\sqrt{4-t^2} \right )$ .
H εξίσωση της εφαπτομένης $\left ( \varepsilon \right )$ στον κύκλο στο (C)

είναι $(\varepsilon ): xt+y\sqrt{4-t^2}=4$ (1) .
H εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από τα σημεία D, A

είναι : $y= - \dfrac{\sqrt{4-t^2}}{t+2}\left ( x+2 \right )$ (2).
Από τις (1) και(2) έχουμε μετά πράξεις τις συντεταγμένες του

. Είναι $P\left ( \dfrac{4-t}{t-1} , - \dfrac{\sqrt{4-t^2}}{t-1}\right )$ με $t\neq 1$ .
Κάνουμε απαλειφή της παραμέτρου . Είναι : $x =\dfrac{4-t}{t-1}$ $\Leftrightarrow$ $t = \dfrac{x+4}{x+1}$ με $x\neq -1$ (3)
Eπίσης $y= - \dfrac{\sqrt{4-t^2}}{t-1}$ $\Rightarrow$ $y^2 = (\dfrac{\sqrt{4-t^2}}{t-1})^2$ $\Leftrightarrow$ $y^2 = \dfrac{4-t^2}{(t-1)^2}$ (4) .

Αντικαθιστώντας στην (3) την (4) έχουμε : $y^2 = \dfrac{4- \left (\dfrac{x+4}{x+1} \right )^2}{\left ( \dfrac{x+4}{x+1}-1 \right )^2}$ $\Leftrightarrow$ ... $\Leftrightarrow$ x^2-3y^2=4

$\Leftrightarrow$ $\dfrac{x^2}{4}- \dfrac{y^2}{\frac{4}{3}} =1$ .

Εύχομαι σε όλους Καλή Χρονιά ! Με υγεία...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Υπερβολές

Υπερβολές

Re: Υπερβολές

Μέλη σε σύνδεση