Normal

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Normal

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Κυρ Ιαν 22, 2017 10:29 pm

Δίνεται η εξίσωση x^2+y^2-4ax-2(a+1)y+2a=0, a \in R

1) Να αποδείξετε ότι η παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του a \in R και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.

2) Να αποδείξετε ότι καθώς μεταβάλλεται η τιμή του a \in R το κέντρο του κύκλου κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

3) Έστω E το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα xx'. Nα βρείτε την εξίσωση της
υπερβολής που η μια εστία της είναι το σημείο E και η εκκεντρότητά της είναι \displaystyle{\frac{2\sqrt{3}}{3}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Normal

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 22, 2017 11:03 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η εξίσωση x^2+y^2-4ax-2(a+1)y+2a=0, a \in R

1) Να αποδείξετε ότι η παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του a \in R και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.

2) Να αποδείξετε ότι καθώς μεταβάλλεται η τιμή του a \in R το κέντρο του κύκλου κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

3) Έστω E το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα xx'. Nα βρείτε την εξίσωση της
υπερβολής που η μια εστία της είναι το σημείο E και η εκκεντρότητά της είναι \displaystyle{\frac{2\sqrt{3}}{3}}
(α) Για να παριστάνει η δοσμένη εξίσωση κύκλο πρέπει \displaystyle{(4a)^2 + 4(a+1)^2 - 8 a >0 }. Ανοίγουμε τα αναπτύγματα και όντως διαπιστώνουμε ότι ισχύει. Το κέντρο των κύκλων είναι το {\rm K}_a \left ( 2a, a+1 \right ) ενώ οι ακτίνες αυτών είναι r_a=2 \sqrt{5a^2+1}.

(β) Έστω x=2a και y=a+1. Τότε \displaystyle{a = \frac{x}{2}} και a=y-1. Οπότε όντως τα κέντρα κινούνται σε ευθεία η οποία έχει εξίσωση \displaystyle{\frac{x}{2}=y-1} ή \displaystyle{x-2y+2=0}.

(γ) Η παραπάνω ευθεία τέμνει τον x'x στο σημείο {\rm E}(-2, 0) οπότε \gamma=2. Για την εκκεντρότητα της υπερβολής ισχύει ότι
\displaystyle{\frac{\beta}{a}= \sqrt{\epsilon^2-1} \Leftrightarrow \frac{\beta}{a} = \sqrt{\left ( \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right )^2 -1} = \sqrt{\frac{12}{9} -1} = \frac{\sqrt{3}}{3}} Άρα \displaystyle{\beta = \frac{\sqrt{3}a}{3} \quad \quad (1)}. Επίσης ισχύει η σχέση
\displaystyle{\begin{aligned} 
 2&= \gamma \\  
 &= \sqrt{a^2+\beta^2} \\  
 &= \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{3}}\\  
 &= \sqrt{\frac{4a^2}{3}} \\ 
 &=\frac{2a}{\sqrt{3}} \\ 
 &= \frac{2a \sqrt{3}}{3} 
\end{aligned}} και άρα a=\sqrt{3}. Οπότε η (1) δίδει \beta=1. Εφόσον οι εστίες της υπερβολής είναι στον x'x η υπερβολή που ψάνουμε είναι η
\displaystyle{\mathcal{H}: \frac{x^2}{3} - y^2 =1}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες