Ελάχιστη υποτείνουσα

KARKAR · #1

: Ελάχιστη υποτείνουσα.png (10.88 KiB) Προβλήθηκε 1098 φορές

Από σημείο

που κινείται στην πλευρά

του τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

φέρουμε τμήμα $SP \parallel x'x$ και στη συνέχεια τμήμα $PQ \perp x'x$ .

Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του τμήματος

.

* Προς μεγαλύτερους : Δείξτε ότι το ελάχιστο εξαρτάται μόνο από το ύψος AH (=6)

και τη βάση BC(=8)

, ενώ οι συντεταγμένες των B,C

δεν παίζουν ρόλο ...

#2

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη υποτείνουσα.pngΑπό σημείο που κινείται στην πλευρά του τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

φέρουμε τμήμα $SP \parallel x'x$ και στη συνέχεια τμήμα $PQ \perp x'x$ .

Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του τμήματος .

* Προς μεγαλύτερους : Δείξτε ότι το ελάχιστο εξαρτάται μόνο από το ύψος

και τη βάση , ενώ οι συντεταγμένες των δεν παίζουν ρόλο ...

Αν δεν έχω κάνει λάθος λόγω του προχωρημένου της ώρας....

$S{Q_{\min }} =$ $\sqrt {\left( {\dfrac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}} + 1} \right){{\left( {\dfrac{{A{H^2} \cdot B{C^2}}}{{A{H^2} + B{C^2}}}} \right)}^2} - 2A{H^2}\left( {\dfrac{{A{H^2} \cdot B{C^2}}}{{A{H^2} + B{C^2}}}} \right) + A{H^2}}$

Στάθης

Υ.Σ. Για να μην το ξεχάσω Θανάση ,για αυτό που γράφεις εδώ να σου πώ ότι για τα πρότυπα επιτυχίας της κοινωνίας που αστόχως δημιουργήσαμε

ισχύει η ανισότητα (και μάλιστα "αυστηρά) Θεωρηματίας

Εισοδηματίας

#3

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη υποτείνουσα.pngΑπό σημείο που κινείται στην πλευρά του τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

φέρουμε τμήμα $SP \parallel x'x$ και στη συνέχεια τμήμα $PQ \perp x'x$ .

Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του τμήματος .

* Προς μεγαλύτερους : Δείξτε ότι το ελάχιστο εξαρτάται μόνο από το ύψος

και τη βάση , ενώ οι συντεταγμένες των δεν παίζουν ρόλο ...

Καλημέρα και Καλό μήνα σε όλους!

: Ελάχιστη υποτείνουσα...png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 1011 φορές

$\displaystyle{\frac{x}{8} = \frac{{AP}}{b},\frac{y}{6} = \frac{{PC}}{b} \Rightarrow }$ $\boxed{\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1}$ και $\boxed{SQ^2=x^2+ y^2}$ Άρα: $\boxed{SQ = \frac{1}{4}\sqrt {25{x^2} - 144x + 576} }$

που παρουσιάζει για $\displaystyle{x = \frac{{72}}{{25}}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{S{Q_{\min }} = \frac{{24}}{5}}$ Στη λύση δεν χρειάστηκαν οι συντεταγμένες των B, C.

KARKAR · #4

: Μέγιστη υποτείνουσα.png (18.97 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές

Γενικεύοντας , με παρόμοιο ή και διαφορετικό τρόπο δείξτε ότι η ελάχιστη τιμή της υποτείνουσας

δίνεται από τη σχέση : $SQ_{min}=\dfrac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}$ . Μετακομίζοντας τη

στη θέση

,

παρατηρήστε ότι : $SQ_{min}=HD$ , που δίνει και ένα τρόπο κατασκευής του

.

Αν δουλέψουμε αλγεβρικά , θα βρούμε ότι η ευθεία

έχει εξίσωση : $y=\dfrac{a^2h}{a^2+h^2}$

#5

KARKAR έγραψε:Μέγιστη υποτείνουσα.png Γενικεύοντας , με παρόμοιο ή και διαφορετικό τρόπο δείξτε ότι η ελάχιστη τιμή της υποτείνουσας

δίνεται από τη σχέση : $SQ_{min}=\dfrac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}$ .

Από $\displaystyle{\frac{x}{a} = \frac{{AP}}{b},\frac{y}{h} = \frac{{PC}}{b} \Rightarrow }$ $\boxed{\frac{x}{a} + \frac{y}{h} = 1}$ και $\boxed{S{Q^2} = {x^2} + {y^2}}$ παίρνω $\boxed{SQ = \frac{1}{a}\sqrt {({a^2} + {h^2}){x^2} - 2a{h^2}x + {a^2}{h^2}} }$ ,

που παρουσιάζει για $\displaystyle{x = \frac{{a{h^2}}}{{{a^2} + {h^2}}}}$ ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{S{Q_{\min }} = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}}$

Σταμ. Γλάρος · #6

KARKAR έγραψε:Ελάχιστη υποτείνουσα.pngΑπό σημείο που κινείται στην πλευρά του τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

φέρουμε τμήμα $SP \parallel x'x$ και στη συνέχεια τμήμα $PQ \perp x'x$ .

Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του τμήματος .

* Προς μεγαλύτερους : Δείξτε ότι το ελάχιστο εξαρτάται μόνο από το ύψος

και τη βάση , ενώ οι συντεταγμένες των δεν παίζουν ρόλο ...

Καλησπέρα . Μια λύση μόνο με πράξεις.
Σίγουρα δεν έχει την γεωμετρική φινέτσα...
Έστω B(m,0)

και

με

.
Αν $(\varepsilon )$ η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία

και

τότε $(\varepsilon ): y=-\dfrac{6}{m}x+6$ .
Θεωρώντας

την τετμημένη του σημείου

έχουμε : $S\left ( t , -\dfrac{6}{m}+6 \right )$ .

Έστω $(\eta )$ η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία

,

και $(\vartheta )$ η ευθεία που διέρχεται
από τα

,

.
Είναι $(\eta) : y=-\dfrac{6}{m} t +6$ και $(\vartheta ): y=-\dfrac{6}{n} x +6$ .

Στη συνέχεια λύνοντας το σύστημα των $(\eta )$ , $(\vartheta )$ βρίσκουμε τις συντεταγμένες του

.
Είναι $P\left (\dfrac{n}{m} t, - \dfrac {6}{m} t+6 \right )$ . Άρα $Q\left (\dfrac{n}{m} t, 0 \right )$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει : $(SP)=\left | \dfrac{n}{m}t -t \right |= \left | \dfrac{t(n-m)}{m} \right |=8\left | \dfrac{t}{m} \right |$ και
$(PQ)=\left | \dfrac{6}{m}t -6 \right |= 6\left | \dfrac{t}{m} -1\right | .$

Επομένως $(SQ)=\sqrt{64\dfrac{t^2}{m^2}+36\left ( \dfrac{t}{m} -1\right )^2} = 2\sqrt{25\left ( \dfrac{t}{m} \right )^2 -18\dfrac{t}{m}+9}$ .
Τώρα θέτοντας όπου $\dfrac{t}{m}=x$ έχουμε το τριώνυμο f(x)= 25x^2 -18x+9

και (με ύλη Α΄ Λυκείου) συμπεραίνουμε ότι
παρουσιάζει στη θέση $x_{o}=\dfrac{9}{25}$ , ολικό ελάχιστο το $f(x_{o})=\dfrac{144}{25}$ .

Συνεπώς είναι το ελάχιστο $(SQ)=2\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{24}{5}$ και εξαρτάται μόνο από την βάση (BC)=|n-m|=8

και το ύψος (AH)=6

.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ελάχιστη υποτείνουσα

Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Μέλη σε σύνδεση