Κοινές εφαπτόμενες

KARKAR · #1

: Σχολική.png (38.19 KiB) Προβλήθηκε 2471 φορές

Σε άσκηση ( εφαρμογή ) του σχολικού βιβλίου ζητείται να αποδειχθεί , ότι η εφαπτομένη του κύκλου

(x-2)^2+(y-3)^2=25

, στο

, εφάπτεται και του κύκλου x^2+(y+1)^2=9

.

Αν σας ζητηθεί να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων , πώς θα απαντήσετε ;

#2

KARKAR έγραψε:Σχολική.pngΣε άσκηση ( εφαρμογή ) του σχολικού βιβλίου ζητείται να αποδειχθεί , ότι η εφαπτομένη του κύκλου

, στο , εφάπτεται και του κύκλου .

Αν σας ζητηθεί να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων , πώς θα απαντήσετε ;

1. Εξετάζω αν υπάρχει κατακόρυφη ευθεία $(\varepsilon ) \to x - t = 0$ κοινή

εφαπτομένη . Θα πρέπει $\left\{ \begin{gathered} d(K,(\varepsilon )) = 5 \hfill \\ d(L,(\varepsilon )) = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} |2 - t| = 5 \hfill \\ | - t| = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow t = - 3$ άρα η x = - 3

είναι

κοινή εφαπτομένη .

2. κάθε άλλη εφαπτομένη είναι της μορφής : lx - y + k = 0

κι εδώ θα πρέπει

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{|2l - 3 + k|}}{{\sqrt {{l^2} + 1} }} = 5 \hfill \\ \frac{{|k + 1|}}{{\sqrt {{l^2} + 1} }} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ από τα συστήματα που προκύπτουν μόνο το

$\left\{ \begin{gathered} k + 1 = - 3\sqrt {{l^2} + 1} \hfill \\ 2l - 3 + k = - 5\sqrt {{l^2} + 1} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ δίδει δεκτή λύση $\boxed{(k,l) = ( - \frac{{19}}{4},\frac{3}{4})}$ και άρα η

$\boxed{y = \frac{3}{4}x - \frac{{19}}{4} \Leftrightarrow 3x - 4y - 19 = 0}$ είναι η άλλη εφαπτομένη

#3

KARKAR έγραψε:Σχολική.pngΣε άσκηση ( εφαρμογή ) του σχολικού βιβλίου ζητείται να αποδειχθεί , ότι η εφαπτομένη του κύκλου

, στο , εφάπτεται και του κύκλου .

Αν σας ζητηθεί να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων , πώς θα απαντήσετε ;

Η μία εφαπτομένη (που βρήκαμε) είναι η 4y=3x-19

. Η ευθεία που διέρχεται από τα κέντρα K,L

είναι (απλές πράξεις) η y=2x-1

. Οι δύο τέμνονται στο (-3,-7)

. Θέλουμε λοιπόν ευθεία που διέρχεται από το (-3,-7)

και απέχει από το κέντρο K(0,-1)

του μικρού κύκλου απόσταση όσο η ακτίνα του

. Μία προφανής τέτοια ευθεία είναι η y=-3

, η ζητούμενη.

Αν δεν το έβλεπα αυτό και ακολουθούσα την "ασφαλή οδό" θα έψαχνα ευθεία της μορφής y=ax+b

, και άρα της y=ax+3a-7

. Από το τύπο της απόστασης του

από αυτήν ανάγoμαι στην a=3/4

. Ακριβέστερα περίμενα δευτεροβάθμια ως προς

αλλά ο όρος a^2

απλοποιήθηκε. Όμως το a=3/4

(ξανα)δίνει την εφαπτομένη που ήξερα. Συνεπώς ψάχνω ευθεία της μορφής y=y_0

. Και λοιπά.

Edit. Με πρόλαβε ο Νίκος. Το αφήνω για τον κόπο...

Κοινές εφαπτόμενες

Κοινές εφαπτόμενες

Re: Κοινές εφαπτόμενες

Re: Κοινές εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση