Διαχωρίζουσα παραβολών

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Διαχωρίζουσα παραβολών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Οκτ 12, 2017 1:21 pm

Να βρείτε την εξίσωση μιας κάποιας ευθείας, που διαχωρίζει τις παραβολές y=x^2+\dfrac{1}{2} και y=-2x^2+12x-12.
(Δηλαδή δεν τις τέμνει και τις αφήνει σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς αυτήν).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Διαχωρίζουσα παραβολών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 12, 2017 7:49 pm

Διαχωρίζουσα.png
Διαχωρίζουσα.png (165.39 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές
Εκτός φακέλου . Ακολουθώντας την συνήθη μέθοδο ( βλέπε εδώ ) , βρίσκουμε τις δύο κοινές

εφαπτόμενες των καμπυλών και εν συνεχεία το κοινό τους σημείο -εν προκειμένω είναι το S(2,\dfrac{25}{6} )

Η διχοτόμος της γωνίας των δύο εφαπτομένων είναι μία από τις άπειρες λύσεις του προβλήματος .


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Διαχωρίζουσα παραβολών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Οκτ 13, 2017 12:36 am

Το πρόβλημα προσπαθεί να εκμαιεύση μια ιδιότητα που λύνει την άσκηση σε δυο γραμμές. Οπότε την περιμένουμε προς το παρόν.

Παρακάτω η δική μου μακροσκελής προσπάθεια, όσο πιο κοντά στο σχολικό βιβλίο, παρόμοια με αυτήν του κ.Θανάση. Να σημειώσω ότι λύνεται και με καθαρά αλγεβρικές πράξεις καταστρώνοντας τις κατάλληλες ανισώσεις αλλά κι αυτή είναι μακροσκελής.

Έστω a,b οι δυο παραβολές αντίστοιχα. Κάνουμε κατάλληλες παράλληλες μετατοπίσεις για να μεταφέρουμε την κορυφή και των δυο στην αρχή των αξόνων. Έτσι για την a έχουμε την αλλαγή μεταβλητής (μετατόπιση)

u=x, v=y-1/2 και η εξίσωσή της γίνεται u^2=v \Rightarrow u^2=2(\dfrac{1}{2})v. Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης σε αυτή, σε ένα σημείο (u_{a},v_{b}), θα είναι uu_{a}=\dfrac{1}{2}(v+v_{a}) \Rightarrow 2uu_{a} = v+v_{a}. Κάνοντας τώρα την αντίστροφη μετατόπιση στο αντίστοιχο σημείο (x_a, x_b) η εξίσωση της εφαπτομένης θα γίνει 2xx_{a} = y-\dfrac{1}{2}+y_b-\dfrac{1}{2} (1)

Ομοίως εργαζόμαστε και για την δεύτερη παραβολή η κορυφή της οποίας, εύκολα βρίσκουμε ότι είναι το σημείο (3,6). Οπότε ο μετασχηματισμός x=u+3, y=v+6 θα την μεταφέρει στην αρχή των αξόνων. Για την εξίσωση της έχουμε

v+6 = -2(u+3)^2+12(u+3)-12 \Rightarrow v=-2u^2 \Rightarrow u^2=2(-\dfrac{1}{4})v. Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της σε ένα σημείο (u_b,v_b) θα είναι uu_{b} = -\dfrac{1}{4}(v+v_{b}) \Rightarrow -4uu_{b} = v+v_{b}. Κάνοντας όπως και πριν τον αντίστροφο μετασχηματισμό για να πάρουμε την εξίσωση της εφαπτομένης σε ένα αντίστοιχο σημείο (x_b,y_b) βρίσκουμε

-4(x-3)(x_{b}-3)= (y-6) +(y_b-6) \Rightarrow x(-4x_{b}+12) = y+y_{b} -12 +3(-4x_{b}+12) (2)

Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι εφαπτομένη μιας παραβολής αφήνει την παραβολή προς το ίδιο ημιεπίπεδο. Μάλιστα αν στρέφει τα κοίλα πάνω και η τετμημένη της κορυφής της βρίσκεται αριστερά της τετμημένης στο σημείο που φέρουμε την εφαπτομένη, τότε και η παραβολή θα είναι αριστερά της εφαπτομένης. Το αντίστροφο αν στρέφει τα κοίλα κάτω και η τετμημένη της κορυφής είναι δεξιότερα της τετμημένης της κορυφής.

Αν βρούμε δυο τέτοιες εφαπτομένες και είναι παράλληλες τότε μπορούμε να διαλέξουμε μια παράλληλη σε αυτές ευθεία που βρίσκεται στο εσωτερικό της λορίδας που ορίζουν και η ευθεία αυτή θα είναι η ζητούμενη. Κάτι τέτοιο θα μπορούσε (θα ήταν βολικό) να συμβεί αν οι τετμημένες των δυο εφαπτομένων ήταν ίσες και βρίσκοταν μεταξύ των τετμημένων των κορυφών.

Από τις (1),(2) για να είναι οι εφαπτομένες παράλληλες σε σημείο με ίδια τετμημένη (x_{a}= x_{b}) θα πρέπει 2x_{a}=(-4x_{a}+12) \Rightarrow x_{a}=x_{b}=2. Όντως το 2 βρίσκεται μεταξύ του 0 και 3.

Μπορούμε για παράδειγμα να διαλέξουμε την μεσοπαράλληλο των εφαπτομένων στις παραβολές στο σημείο με τετμημένη 2. Τα σημεία αυτά είναι A=(2, \dfrac{9}{2}) και B=(2, 4). Το δε μέσο του διαστήματος ΑΒ έχει συντεταγμένες M=(2, \dfrac{17}{4}).

Η μεσοπαράλληλος θα έχει και αυτή συντελεστή διεύθυνσης \lambda = 2x_{a} = 2\cdot 2 =4 . Επομένως έχει την μορφή y=4x+k και διέρχεται από το M άρα θα ικανοποιεί την εξίσωση \dfrac{17}{4} = 8+k \Rightarrow k= -\dfrac{15}{4}.

Μια τέτοια ευθεία είναι δηλαδή η y=4x-\dfrac{15}{4} .


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1137
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Διαχωρίζουσα παραβολών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Οκτ 19, 2017 9:08 pm

Ισχύει η εξής γενική πρόταση, που δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί.

Έστω A το σύνολο που ορίζεται από τα σημεία που είναι λύσεις της εξίσωσης f(x,y)=0 και B το σύνολο της εξίσωσης g(x,y)=0. Αν τα σύνολα A και B δεν έχουν κοινά σημεία, τότε για οποιοσδήποτε μη μηδενικούς πραγματικούς a,b η εξίσωση af(x,y)+bg(x,y)=0 ορίζει ένα σύνολο σημείων, που δεν περιέχει κοινά σημεία με τα σύνολα A και B.


Εφαρμόζοντας την παραπάνω πρόταση στο πρόβλημα μας για τα σύνολα σημείων που δίνονται από τις εξισώσεις f(x,y)= 2y-2x^2-1=0 και g(x,y)=y+2x^2-12x+12 βρίσκουμε ότι η εξίσωση f(x,y)+g(x,y)=3y-12x+11=0 δεν θα έχει κοινά σημεία με τις παραβολές. Οπότε μια τέτοια ευθεία είναι η y=4x-\dfrac{11}{3}.


Πηγή: Κβαντ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης