Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Ρουλα Γρ. · #1

Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης; Η άσκηση είναι :
Δίνονται οι κύκλοι $(x-2\lambda) ^2+(y-3\lambda) ^{2}=1$
, όπου $\lambda \epsilon R$ .
Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δύο σταθερές ευθείες των οποίων να υπολογίσετε τις εξισώσεις.
Εγώ, προσπάθησα να λύσω την άσκηση παίρνοντας τον τύπο :d(Κ, ε) =ρ όπου ε :y=λx+β αλλά κατέληξα σε μια εξίσωση τετάρτου βαθμού που δεν παραγοντοποιειται και ούτε μπορώ να θέσω κάτι.

#2

Το κέντρο του κύκλου διατρέχει σταθερή ευθεία και η ακτίνα του είναι σταθερή .

Λίγη φαντασία και θα «ζωγραφιστούν» δυο παράλληλες σταθερές ευθείες .

Όμως γιατί δεν ζητάς βοήθεια απ;o τον καθηγητή σου; ,είτε αυτός σας την πρότεινε είτε όχι, είναι ο πιο ειδήμων να σε κατευθύνει στη λύση της .

Ανδρέας Πούλος · #3

Αν θέσουμε λ =1, μετά λ = 2, λ = 3 θα έχουμε τρεις κύκλους με ακτίνα 1 και με κέντρα (0, 0), (2, 3) (4, 6) αντίστοιχα.
Αυτά τα δεδομένα δείχνουν ότι τα κέντρα των κύκλων ανήκουν σε σταθερή ευθεία.
Αυτό που μένει είναι να αποδειχθεί ότι αυτό συμβαίνει για κάθε τιμή του λ.
Οι εφαπτόμενες ευθείες θα είναι παράλληλες σε αυτή την ευθεία και θα απέχουν μεταξύ τους 1+1 = 2 μονάδες.

#4

Ρουλα Γρ. έγραψε: ↑
Δευ Απρ 16, 2018 7:19 pm
Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης; Η άσκηση είναι :
Δίνονται οι κύκλοι $(x-2\lambda) ^2+(y-3\lambda) ^{2}=1$
, όπου $\lambda \epsilon R$ .
Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος εφάπτεται σε δύο σταθερές ευθείες των οποίων να υπολογίσετε τις εξισώσεις.
Εγώ,

προσπάθησα να λύσω την άσκηση παίρνοντας τον τύπο :d(Κ, ε) =ρ όπου ε :y=ax+β

αλλά κατέληξα σε μια εξίσωση τετάρτου βαθμού που δεν παραγοντοποιειται και ούτε μπορώ να θέσω κάτι.

Δυνατή σκέψη!

Καταλήγεις, λοιπόν, $\left | \lambda (3-2\alpha ) +\beta \right |=\sqrt{\alpha ^2+1}$ .

Εδώ, τώρα, τα α, β είναι σταθεροί αριθμοί, ενώ το λ μεταβάλλεται στο R. Συμπεραίνουμε ότι $\alpha =\dfrac{3}{2}$ (γιατί;) $\left |\beta \right | =\sqrt{\alpha ^2+1} =\sqrt{\frac{13}{4}}=...$ κ.λπ.

Ορέστης Λιγνός · #5

Για τα κέντρα των κύκλων έχουμε:

$x_0=2\lambda \,\, \textnormal{\gr και} \,\, y_0=3\lambda \Rightarrow y_0=\dfrac{3}{2}x_0$ .

Άρα, τα κέντρα των κύκλων ανήκουν στην ευθεία $y=\dfrac{3}{2}x$ (μπλε γραμμή).

Τώρα, με φαντασία, όπως λέει ο Νίκος, και με τις υποδείξεις του Ανδρέα, έχουμε :

Βρίσκουμε την εφαπτόμενη του κύκλου με κέντρο O(0,0)

, που είναι παράλληλη στην ευθεία $y=\dfrac{3}{2}x$ .

Η εφαπτόμενη έχει εξίσωση $y=\dfrac{3}{2}x+\beta, \,\, \beta \in \mathbb{R}$ .

Άρα, θα πρέπει $d(O,A)=1 \Rightarrow \dfrac{|2y-3x-2\beta|}{\sqrt{4+9}}=1 \Rightarrow \dfrac{|2 \cdot 0-3 \cdot 0-2\beta|}{\sqrt{13}}=1 \Rightarrow b=\pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$ .

Οπότε, οι δύο παράλληλες εφαπτόμενες είναι $\varepsilon_1: y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ και η $\varepsilon_2: y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{\sqrt{13}}{2}$ .

Θα πρέπει όμως οι $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ να είναι εφαπτόμενες και στους άλλους κύκλους, για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Θα δούμε αν ισχύει αυτό.

Έχουμε:

$d(O_\lambda, \varepsilon_1)=\dfrac{|2y-3x+\sqrt{13}|}{\sqrt{13}}=\dfrac{|6\lambda-6\lambda+\sqrt{13}|}{\sqrt{13}}=1$ .

Όμοια και για την $\varepsilon_2$ , άρα οι $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ είναι εφαπτόμενες σε όλους τους κύκλους, για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ .

: efaptomenes.png (38.68 KiB) Προβλήθηκε 1550 φορές

Ρουλα Γρ. · #6

Ευχαριστώ πολύ!

Ratio · #7

Ρουλα Γρ. έγραψε: ↑
Τετ Απρ 18, 2018 12:23 pm
Ευχαριστώ πολύ!

Η άσκηση σε οδηγούσε να σκεφτείς ότι ο γεωμετρικός τόπος στον οποίο κινούνται τα κέντρα των κύκλων λειτουργεί ως μεσοπαράλληλη ευθεία , συνεπώς ουσιαστικά εύρισκες τις δύο παράλληλες εκατέρωθεν με σταθερή απόσταση 1

Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Re: Απορία μαθητή για την επίλυση άσκησης από το κεφάλαιο "κύκλος"

Μέλη σε σύνδεση