Απαίτηση για ισότητα

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9808
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απαίτηση για ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 21, 2018 10:33 am

Απαίτηση  για ισότητα.png
Απαίτηση για ισότητα.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Οι πλευρές ορθής γωνίας με κορυφή το σημείο A(0,4) , τέμνουν τις ευθείες : y=0 και y=\dfrac{x}{4}

στα σημεία B,C,D,E , όπως φαίνεται στο σχήμα . Βρείτε εκείνη τη θέση της γωνίας , για την

οποία τα εμβαδά των τριγώνων BDO και CEO γίνονται ίσα . Άλλος τρόπος ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4060
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απαίτηση για ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Ιουν 21, 2018 8:57 pm

Καλησπέρα σε όλους.

Αν και δεν το ανακάλυψα το μυστικό που κρύβει η άσκηση του Θανάση, δίνω μια λύση με πολλές ανούσιες πράξεις, ως σκαλοπάτι για όποιον θα ήθελε να ανέβει ψηλότερα. Μού κάνει εντύπωση το ότι φαίνεται η ισότητα να προκύπτει όταν τα τρίγωνα έχουν εμβαδό 2.

21-06-2018 Γεωμετρία 5.jpg
21-06-2018 Γεωμετρία 5.jpg (31.85 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

Έστω D(-a, 0), E(0, b), a, b > 0.

Είναι  \displaystyle AD:\;\;y = \frac{4}{a}x + 4 και  \displaystyle BC:\;y = \frac{x}{4} άρα  \displaystyle B\left( {\frac{{16a}}{{a - 16}},\;\;\frac{{4a}}{{a - 16}}} \right)

Είναι  \displaystyle AE:\;\;y =  - \frac{4}{b}x + 4 και  \displaystyle BC:\;y = \frac{x}{4} άρα  \displaystyle C\left( {\frac{{16b}}{{b + 16}},\;\frac{{4b}}{{b + 16}}} \right)

Είναι  \displaystyle O{A^2} = OD \cdot OE \Leftrightarrow a \cdot b = 16 (1)

Φέρνουμε τα ύψη BB’, CC’ στον οριζόντιο άξονα.

Είναι \displaystyle \left( {BOB'} \right) = \left( {COC'} \right) \Leftrightarrow OD \cdot BB' = OE \cdot CC' \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{\left| {a - 16} \right|}} = \frac{{{b^2}}}{{b + 16}} (2)

Για 0<a < 16 λύνουμε το σύστημα των (1), (2)

 \displaystyle \frac{{{a^2}}}{{16 - a}} = \frac{{\frac{{256}}{{{a^2}}}}}{{\frac{{16}}{a} + 16}} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{16 - a}} = \frac{{16}}{{{a^2} + a}} \Leftrightarrow {a^4} + {a^3} + 16a - 256 = 0 , με θετική ρίζα  \displaystyle a \cong 3,53 .

Για a > 16 λύνουμε το σύστημα των (1), (2)

 \displaystyle \frac{{{a^2}}}{{a - 16}} = \frac{{{b^2}}}{{b + 16}} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + a - b = 0 , που είναι αδύνατο, αφού  \displaystyle a > 16 \Leftrightarrow 0 < b < \frac{1}{{16}} \Rightarrow a - b > 0 .

edit: Με υπόδειξη του Νίκου Φραγκάκη η θετική ρίζα του a είναι \displaystyle \frac{\sqrt{65}-1}{2}.
Παρατηρήστε ότι οι οι δύο μιγαδικές είναι -4i, +4i !


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απαίτηση για ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 22, 2018 12:51 pm

Απαίτηση ισότητας.png
Απαίτηση ισότητας.png (26.94 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Προφανές ότι το τετράπλευρο BDCE θα είναι τραπέζιο

και αναγκαστικά η AO θα διέρχεται από τα μέσα των βάσεων του .

Αν λοιπόν D(a,0)\,\,,a < 0 , \overrightarrow {AD}  = (a, - 4) και άρα , AC \to y = 4 + \dfrac{{ax}}{4}.

C:\left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{x}{4} \hfill \\ 
  y = 4 + \frac{{ax}}{4} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow C\left( {\dfrac{{16}}{{1 - a}},\dfrac{4}{{1 - a}}} \right)\,\,\,.

αφού δε η τετμημένη του M , μέσου του DC είναι 0 έχουμε την εξίσωση :


\dfrac{{a + \dfrac{{16}}{{1 - a}}}}{2} = 0 \Rightarrow {a^2} - a - 16 = 0 \Rightarrow \boxed{a = \dfrac{{1 - \sqrt {65} }}{2}}.


Θα ψάξω και για Ευκλείδεια λύση .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης