Απαίτηση για ισότητα
Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας
Απαίτηση για ισότητα
στα σημεία , όπως φαίνεται στο σχήμα . Βρείτε εκείνη τη θέση της γωνίας , για την
οποία τα εμβαδά των τριγώνων και γίνονται ίσα . Άλλος τρόπος ;
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Απαίτηση για ισότητα
Καλησπέρα σε όλους.
Αν και δεν το ανακάλυψα το μυστικό που κρύβει η άσκηση του Θανάση, δίνω μια λύση με πολλές ανούσιες πράξεις, ως σκαλοπάτι για όποιον θα ήθελε να ανέβει ψηλότερα. Μού κάνει εντύπωση το ότι φαίνεται η ισότητα να προκύπτει όταν τα τρίγωνα έχουν εμβαδό .
Έστω .
Είναι και άρα
Είναι και άρα
Είναι (1)
Φέρνουμε τα ύψη στον οριζόντιο άξονα.
Είναι (2)
Για λύνουμε το σύστημα των (1), (2)
, με θετική ρίζα .
Για λύνουμε το σύστημα των (1), (2)
, που είναι αδύνατο, αφού .
edit: Με υπόδειξη του Νίκου Φραγκάκη η θετική ρίζα του είναι .
Παρατηρήστε ότι οι οι δύο μιγαδικές είναι !
Αν και δεν το ανακάλυψα το μυστικό που κρύβει η άσκηση του Θανάση, δίνω μια λύση με πολλές ανούσιες πράξεις, ως σκαλοπάτι για όποιον θα ήθελε να ανέβει ψηλότερα. Μού κάνει εντύπωση το ότι φαίνεται η ισότητα να προκύπτει όταν τα τρίγωνα έχουν εμβαδό .
Έστω .
Είναι και άρα
Είναι και άρα
Είναι (1)
Φέρνουμε τα ύψη στον οριζόντιο άξονα.
Είναι (2)
Για λύνουμε το σύστημα των (1), (2)
, με θετική ρίζα .
Για λύνουμε το σύστημα των (1), (2)
, που είναι αδύνατο, αφού .
edit: Με υπόδειξη του Νίκου Φραγκάκη η θετική ρίζα του είναι .
Παρατηρήστε ότι οι οι δύο μιγαδικές είναι !
Re: Απαίτηση για ισότητα
Έστω λυμένο το πρόβλημα. Προφανές ότι το τετράπλευρο θα είναι τραπέζιο
και αναγκαστικά η θα διέρχεται από τα μέσα των βάσεων του .
Αν λοιπόν , και άρα , .
.
αφού δε η τετμημένη του , μέσου του είναι έχουμε την εξίσωση :
.
Θα ψάξω και για Ευκλείδεια λύση .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες