Διανυσματική ισότητα

ann79 · #1

Δίνεται τετράπλευρο ABCD

και σημεία K,L,M,N

για τα οποία ισχύει
$2\vec{KA}=\vec{BK}, 2\vec{LC}=\vec{BL}, 2\vec{MD}=\vec{CM}, 2\vec{ND}=\vec{AN}$ . Να δείξετε ότι $\vec{KM}+\vec{NL}=\vec{AC}$ .

#2

ann79 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 23, 2018 2:46 pm
Δίνεται τετράπλευρο και σημεία για τα οποία ισχύει
$2\vec{KA}=\vec{BK}, 2\vec{LC}=\vec{BL}, 2\vec{MD}=\vec{CM}, 2\vec{ND}=\vec{AN}$ . Να δείξετε ότι $\vec{KM}+\vec{NL}=\vec{AC}$ .

ΛΥΣΗ

Αν

τυχαίο σημείο του επιπέδου από τις δοσμένες ισότητες έχουμε
$2\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{BK}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OB}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OK}$

$2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{BL}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OB}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OL}$

$2\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{CM}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OD}-2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OM}$

$2\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{AN}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OD}-2\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{ON}$ και τότε

$\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{NL}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OL}-(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{ON})=$

$=\frac{2\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}}{3}-\frac{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}}{3}$

$=\frac{\cancel{2\overrightarrow{OD}}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}+\cancel{\overrightarrow{OB}}}{3}-\frac{2\overrightarrow{OA}+\cancel{\overrightarrow{OB}}+\cancel{2\overrightarrow{OD}}+\overrightarrow{OA}}{3}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AC}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

ann79 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 23, 2018 2:46 pm
Δίνεται τετράπλευρο και σημεία για τα οποία ισχύει
$2\vec{KA}=\vec{BK}, 2\vec{LC}=\vec{BL}, 2\vec{MD}=\vec{CM}, 2\vec{ND}=\vec{AN}$ . Να δείξετε ότι $\vec{KM}+\vec{NL}=\vec{AC}$ .

: Διανυσματική ισότητα.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Από τις σχέσεις που έχουν δοθεί είναι προφανές ότι $\displaystyle NM|| = \frac{1}{3}AC,KL|| = \frac{2}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {KL} = \overrightarrow {AC}$

Αλλά, $\displaystyle \overrightarrow {KM} + \overrightarrow {NL} = \overrightarrow {KN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NK} + \overrightarrow {KL} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {KL} = \overrightarrow {AC}$

Διανυσματική ισότητα

Διανυσματική ισότητα

Re: Διανυσματική ισότητα

Re: Διανυσματική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση