Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Δείξτε ότι δεν υπάρχει παραλληλόγραμμο με κορυφές στην παραβολή .
(Πρόκειται για θέμα που είδα στον διαγωνισμό Mathematical Olympiad for Girls. Το τοποθετώ εδώ γιατί η επίσημη λύση είναι
λίγο πολύπλοκη για την αξία του ερωτήματος, οπότε ζητώ από το φόρουμ απλές λύσεις. Έχω μία των 2-3 γραμμών. Νομίζω ότι το θέμα,
έστω με υπόδειξη, είναι κατάλληλο για ερώτημα σε Τάξη.)
(Πρόκειται για θέμα που είδα στον διαγωνισμό Mathematical Olympiad for Girls. Το τοποθετώ εδώ γιατί η επίσημη λύση είναι
λίγο πολύπλοκη για την αξία του ερωτήματος, οπότε ζητώ από το φόρουμ απλές λύσεις. Έχω μία των 2-3 γραμμών. Νομίζω ότι το θέμα,
έστω με υπόδειξη, είναι κατάλληλο για ερώτημα σε Τάξη.)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Εστω οι κορυφές του παραλληλογράμου . Ειναι , , , .
Πρέπει και . Η κλίση της με να ανήκουν στην παραβολή είναι . Αρα πρέπει και . Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε , άτοπο.
Edit: Με πρόλαβε ο κ. Θανάσης. Την αφήνω για τον κόπο (όχι και πολύ μεγάλος )
Πρέπει και . Η κλίση της με να ανήκουν στην παραβολή είναι . Αρα πρέπει και . Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε , άτοπο.
Edit: Με πρόλαβε ο κ. Θανάσης. Την αφήνω για τον κόπο (όχι και πολύ μεγάλος )
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Ελάχιστα διαφορετικά από τους παραπάνω.
Θεωρώ τα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο.
Τότε θα είναι που είναι άτοπο.
Θεωρώ τα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο.
Τότε θα είναι που είναι άτοπο.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Αυτό είναι και συνέπεια της κυρτότητας της , αφού τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ως προς .
Μάγκος Θάνος
Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Π.χ τα μέσα παράλληλων χορδών ορίζουν ευθεία παράλληλη στον άξονα της παραβολής.
Στην περίπτωση που είχαμε παραλληλόγραμμο, σύμφωνα με αυτό, όλες οι πλευρές του θα ήταν παράλληλες στον άξονά της. Δεν γίνεται.
Στην περίπτωση που είχαμε παραλληλόγραμμο, σύμφωνα με αυτό, όλες οι πλευρές του θα ήταν παράλληλες στον άξονά της. Δεν γίνεται.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Έστω το παραλληλόγραμμο που οι κορυφές του είναι σημεία της παραβολής .
Αν το σημείο τομής των διαγώνιων του αυτό θα προβάλλεται στον οριζόντιο άξονα έστω στο σημείο .
Τα θα προβάλλονται κατά σειρά στον ίδιο άξονα στα διακεκριμένα σημεία : ( αφού το παραλληλόγραμμο είναι κυρτό σχήμα) .
Επειδή θα ισχύουν : , που είναι άτοπο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Αν τα σημεία είναι (κυκλικά) τα τότε αφού τα μέσα των διαγωνίων συμπίπτουν θα είχαμε
. Λύνοντας ως προς το σύστημα που προκύπτει, δηλαδή το . βρίσκουμε ή . Άτοπα και τα δύο.
. Λύνοντας ως προς το σύστημα που προκύπτει, δηλαδή το . βρίσκουμε ή . Άτοπα και τα δύο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες