Ευκλείδια με διανύσματα

ann79 · #1

Καλημέρα. Να δείξετε, με χρήση διανυσματικού λογισμού μέχρι και την παράγραφο των συντεταγμένων , ότι το ύψος προς τη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι και διάμεσος.

Tolaso J Kos · #2

Να δειχθεί και το ανάποδο, δηλ. ότι και η διάμεσος είναι ύψος;

ann79 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 9:36 am
Καλημέρα. Να δείξετε, με χρήση διανυσματικού λογισμού μέχρι και την παράγραφο των συντεταγμένων , ότι το ύψος προς τη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι και διάμεσος.

ann79 · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 10:12 am
Να δειχθεί και το ανάποδο, δηλ. ότι και η διάμεσος είναι ύψος;

ann79 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 9:36 am
Καλημέρα. Να δείξετε, με χρήση διανυσματικού λογισμού μέχρι και την παράγραφο των συντεταγμένων , ότι το ύψος προς τη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι και διάμεσος.

Όχι, μόνο το ευθύ.

#4

Καλησπέρα.

: 28-10-2018 Γεωμετρία.jpg (29.4 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Έστω

ισοσκελές τρίγωνο.

Έστω D(k,0)

σημείο της ευθείας

.
Είναι $\displaystyle \overrightarrow {BC} = \left( {2b,0} \right)$ και $\displaystyle \overrightarrow {AD} = \left( {k, - a} \right)$

Με εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων:
Τότε $\displaystyle \overrightarrow {AD} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow 2kb = 0 \Leftrightarrow k = 0$ , οπότε

μέσο της

.

Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε εσωτερικό γινόμενο, μπορούμε να κάνουμε το εξής για να είμαστε συμβατοί με τα περιθώρια που αφήνουν οι περιορισμοί της εκφώνησης:

$\displaystyle {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow {BD} } \right|^2} \Leftrightarrow {k^2} + {a^2} = {b^2} + {a^2} - {\left( {b + k} \right)^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2{k^2} + 2bk = 0 \Leftrightarrow 2k\left( {k + b} \right) = 0$ (1).

$\displaystyle {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow {CD} } \right|^2} \Leftrightarrow {k^2} + {a^2} = {b^2} + {a^2} - {\left( {b - k} \right)^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2{k^2} - 2bk = 0 \Leftrightarrow 2k\left( {k - b} \right) = 0$ (2)

Οι (1) και (2) συναληθεύουν όταν k=0

.

Επιτρέψτε μου ένα σχόλιο: Ίσως να υπάρχει απλούστερη λύση (με τους περιορισμούς της εκφώνησης) και να μην τη βλέπω τώρα.
Αν όμως η ζητουμενη λύση είναι η 2η (δίχως εσωτερικό γινόμενο), τότε το θέμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα "μαθηματικών ψυχαναγκαστικών εκφωνήσεων": Κάντε δίχως λόγο τα εύκολα δύσκολα. Θα πετύχετε σίγουρα το σκοπό σας. Να σιχαθούν τα παιδιά την Αναλυτική Γεωμετρία, που παίρνει απλές έννοιες και τις κάνει πολύπλοκες.

sot arm · #5

Καλησπέρα, μια 'αλλη λύση, χωρίς συντεταγμένες είναι η εξής:

'Εστω: $AD=\vec{v} , AB=\vec{b} , AC=\vec{c}$ όπως στο σχήμα του κυρίου Ρίζου.
'Εχω:
$\displaystyle{(\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{v}=0\Leftrightarrow \vec{b}\cdot\vec{v}=\vec{c}\cdot\vec{v}\Leftrightarrow 2\vec{b}\cdot\vec{v}=2\vec{c}\cdot\vec{v}\Leftrightarrow |\vec{b}|^{2}-2\vec{b}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}=|\vec{c}|^{2}-2\vec{c}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}\Rightarrow (\vec{b}-\vec{v})^{2}=(\vec{c}-\vec{v})^{2}\Leftrightarrow |\vec{b}-\vec{v}|=|\vec{b}-\vec{v}|}$

Που είναι το ζητούμενο.Σημείωση: Χρησιμοποιήθηκε ότι $|\vec{b}|=|\vec{c}|$ αφού είναι ισοσκελές.

#6

Καλησπέρα!

: Διανύσματα.png (8.37 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

$\displaystyle |\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {AC} | \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}$ κι επειδή τα σημεία B, C

είναι εκατέρωθεν του

θα είναι

που σημαίνει ότι το

είναι μέσο του BC.

Ευκλείδια με διανύσματα

Ευκλείδια με διανύσματα

Re: Ευκλείδια με διανύσματα

Re: Ευκλείδια με διανύσματα

Re: Ευκλείδια με διανύσματα

Re: Ευκλείδια με διανύσματα

Re: Ευκλείδια με διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση