Ίχνος

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11623
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίχνος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 01, 2018 1:49 pm

Ίχνος.png
Ίχνος.png (7.44 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές
\bigstar Η ύλη των Μαθηματικών προσανατολισμού της Β' Λυκείου ξεκινάει με τα διανύσματα .

Χρησιμοποιώντας μόνο αυτή την ύλη , βρείτε το ίχνος του ύψους AD του τριγώνου ABC .

Αν σκεφθήκατε ότι ο KARKAR κάνει προεργασία για θέματα σε διαγώνισμα , δεν κάνατε λάθος :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίχνος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 01, 2018 3:39 pm

Έστω D(x,y) . Είναι : \left\{ \begin{gathered} 
  \overrightarrow {BC}  = (12,9) \hfill \\ 
  \overrightarrow {AD}  = (x - 1,y - 5) \hfill \\ 
  \overrightarrow {BD}  = (x + 2,y + 2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και

\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  \overrightarrow {AD}  \bot \overrightarrow {BC}  \hfill \\ 
  \overrightarrow {BD} //\overrightarrow {BC}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \\ 
  \det \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \,\,} \right) = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  12(x - 1) + 9(y - 5) = 0 \hfill \\ 
  9(x + 2) - 12(y + 2) = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{82}}{{25}} \hfill \\ 
  y = \frac{{49}}{{25}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Μπορούμε και με το Θ. των προβολών


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 346
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ίχνος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Δεκ 02, 2018 1:06 am

Doloros έγραψε:
Σάβ Δεκ 01, 2018 3:39 pm
Έστω D(x,y) . Είναι : \left\{ \begin{gathered} 
  \overrightarrow {BC}  = (12,9) \hfill \\ 
  \overrightarrow {AD}  = (x - 1,y - 5) \hfill \\ 
  \overrightarrow {BD}  = (x + 2,y + 2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και

\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  \overrightarrow {AD}  \bot \overrightarrow {BC}  \hfill \\ 
  \overrightarrow {BD} //\overrightarrow {BC}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \\ 
  \det \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \,\,} \right) = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  12(x - 1) + 9(y - 5) = 0 \hfill \\ 
  9(x + 2) - 12(y + 2) = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{82}}{{25}} \hfill \\ 
  y = \frac{{49}}{{25}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Μπορούμε και με το Θ. των προβολών
Καλησπέρα.
Με βάση την αναφορά του Doloros έχουμε:
\vec{BD}= \pi \rho o\beta _{\vec{BC}}\vec{BA}. Οπότε : \vec{BD}\cdot \vec{BC}=\vec{BA}\cdot \vec{BC} .
Από την παραπάνω σχέση (αναλυτική έκφραση) προκύπτει: 4x+3y=11.
Χρησιμοποιώντας τώρα και την παραλληλία των \vec{BD} , \vec{BC} έχουμε το ζητούμενο.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
ΥΓ. Ωραία ιδέα για εμπέδωση της έννοιας των προβολών, η οποία δυσκολεύει τα παιδιά...


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11623
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίχνος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 02, 2018 9:41 am

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Κυρ Δεκ 02, 2018 1:06 am

Μπορούμε και με το Θ. των προβολών
Με βάση την αναφορά του Doloros έχουμε:
\vec{BD}= \pi \rho o\beta _{\vec{BC}}\vec{BA}. Οπότε : \vec{BD}\cdot \vec{BC}=\vec{BA}\cdot \vec{BC} .
Από την παραπάνω σχέση (αναλυτική έκφραση) προκύπτει: 4x+3y=11.
Χρησιμοποιώντας τώρα και την παραλληλία των \vec{BD} , \vec{BC} έχουμε το ζητούμενο.
Φιλικά Σταμ. Γλάρος
ΥΓ. Ωραία ιδέα για εμπέδωση της έννοιας των προβολών, η οποία δυσκολεύει τα παιδιά...

Σταμάτη , η παράγραφος περί προβολών είναι εκτός ύλης πλέον , άρα πάμε στη λύση του Νίκου ...

( ο οποίος δεν είδε το πρόσημο στο -1 και βρήκε άλλη ( ασχημότερη ! ) λύση


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 291
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Ίχνος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Δεκ 02, 2018 10:11 am

Η γωνία B , προφανώς όχι τυχαία, είναι 45^0, οπότε χρησιμοποιώντας και την απόσταση σημείου από σημείο, προκύπτουν κι άλλοι τρόποι ώστε να βρεθούν οι "όμορφες" συντεταγμένες του D(2,1).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9347
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίχνος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 02, 2018 10:44 am

Μπορεί η παράγραφος περί προβολών να είναι εκτός ύλης, αλλά αυτό δεν μας εμποδίζει να γράψουμε:

\displaystyle \overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DA} )\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD}  \cdot \overrightarrow {BC}  = ... κλπ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7202
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίχνος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Δεκ 02, 2018 1:00 pm

Συγνώμη αλλά τώρα ενημερώθηκα ότι το αστεράκι σημαίνει "24 ώρες αποκλειστικά για μαθητές"


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Ίχνος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Σάβ Δεκ 08, 2018 10:14 am

Με νόμο συνημιτόνων η γωνία Β είναι 45^{o} , άρα το τρίγωνο ADB είναι ορθογώνιο ισοσκελές , συνεπώς \left | \vec{AD} \right |=\left | \vec{BD} \right |
Αν οι συνεταταγμένες του D είναι (x_{0},y_{0}), προκύπτει η σχέση x_{o}+7y_{0}=9 (1)
Από την καθετότητα \vec{AD},\vec{DC}, προκύπτει x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-9x_{0}-12y_{0}=-25(2)

Λύνοντας το σύστημα βγαίνουν για το D τα εξής ζεύγη λύσεων: (2,1) και (\frac{11}{2},\frac{1}{2})
Το δεύτερο ζεύγος απορρίπτεται με κατάλληλο έλεγχο
Συνημμένα
geogebra-export (1).png
geogebra-export (1).png (263.08 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1893
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ίχνος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Δεκ 08, 2018 1:28 pm

Η γεωμετρία επιβάλλεται, δεν απαγορεύεται...

AC^2=AB^2+AC^2-2(BD)BC και βρίσκουμε το BD

Μετά

\overrightarrow{BD}=\dfrac{BD}{BC} \overrightarrow{BC} και τώρα

(x_D-x_B,y_D-y_B)=\dfrac{BD}{BC}(x_C-x_B,y_C-y_B)

κ.λπ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες