Ίχνος

KARKAR · #1

: Ίχνος.png (7.44 KiB) Προβλήθηκε 1856 φορές

$\bigstar$ Η ύλη των Μαθηματικών προσανατολισμού της Β' Λυκείου ξεκινάει με τα διανύσματα .

Χρησιμοποιώντας μόνο αυτή την ύλη , βρείτε το ίχνος του ύψους

του τριγώνου ABC

.

Αν σκεφθήκατε ότι ο KARKAR κάνει προεργασία για θέματα σε διαγώνισμα , δεν κάνατε λάθος

#2

Έστω

. Είναι : $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {BC} = (12,9) \hfill \\ \overrightarrow {AD} = (x - 1,y - 5) \hfill \\ \overrightarrow {BD} = (x + 2,y + 2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AD} \bot \overrightarrow {BC} \hfill \\ \overrightarrow {BD} //\overrightarrow {BC} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ \det \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \,\,} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 12(x - 1) + 9(y - 5) = 0 \hfill \\ 9(x + 2) - 12(y + 2) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{82}}{{25}} \hfill \\ y = \frac{{49}}{{25}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μπορούμε και με το Θ. των προβολών

Σταμ. Γλάρος · #3

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 01, 2018 3:39 pm
Έστω . Είναι : $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {BC} = (12,9) \hfill \\ \overrightarrow {AD} = (x - 1,y - 5) \hfill \\ \overrightarrow {BD} = (x + 2,y + 2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AD} \bot \overrightarrow {BC} \hfill \\ \overrightarrow {BD} //\overrightarrow {BC} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ \det \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \,\,} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 12(x - 1) + 9(y - 5) = 0 \hfill \\ 9(x + 2) - 12(y + 2) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{82}}{{25}} \hfill \\ y = \frac{{49}}{{25}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μπορούμε και με το Θ. των προβολών

Καλησπέρα.
Με βάση την αναφορά του Doloros έχουμε:
$\vec{BD}= \pi \rho o\beta _{\vec{BC}}\vec{BA}$ . Οπότε : $\vec{BD}\cdot \vec{BC}=\vec{BA}\cdot \vec{BC}$ .
Από την παραπάνω σχέση (αναλυτική έκφραση) προκύπτει: 4x+3y=11

.
Χρησιμοποιώντας τώρα και την παραλληλία των $\vec{BD} , \vec{BC}$ έχουμε το ζητούμενο.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
ΥΓ. Ωραία ιδέα για εμπέδωση της έννοιας των προβολών, η οποία δυσκολεύει τα παιδιά...

KARKAR · #4

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 1:06 am

Μπορούμε και με το Θ. των προβολών

Με βάση την αναφορά του Doloros έχουμε:
$\vec{BD}= \pi \rho o\beta _{\vec{BC}}\vec{BA}$ . Οπότε : $\vec{BD}\cdot \vec{BC}=\vec{BA}\cdot \vec{BC}$ .
Από την παραπάνω σχέση (αναλυτική έκφραση) προκύπτει: 4x+3y=11

.
Χρησιμοποιώντας τώρα και την παραλληλία των $\vec{BD} , \vec{BC}$ έχουμε το ζητούμενο.
Φιλικά Σταμ. Γλάρος
ΥΓ. Ωραία ιδέα για εμπέδωση της έννοιας των προβολών, η οποία δυσκολεύει τα παιδιά...

Σταμάτη , η παράγραφος περί προβολών είναι εκτός ύλης πλέον , άρα πάμε στη λύση του Νίκου ...

( ο οποίος δεν είδε το πρόσημο στο

και βρήκε άλλη ( ασχημότερη ! ) λύση

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #5

Η γωνία

, προφανώς όχι τυχαία, είναι 45^0

, οπότε χρησιμοποιώντας και την απόσταση σημείου από σημείο, προκύπτουν κι άλλοι τρόποι ώστε να βρεθούν οι "όμορφες" συντεταγμένες του D(2,1)

.

#6

Μπορεί η παράγραφος περί προβολών να είναι εκτός ύλης, αλλά αυτό δεν μας εμποδίζει να γράψουμε:

$\displaystyle \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DA} )\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {BC} = ...$ κλπ.

#7

Συγνώμη αλλά τώρα ενημερώθηκα ότι το αστεράκι σημαίνει "24 ώρες αποκλειστικά για μαθητές"

Ratio · #8

Με νόμο συνημιτόνων η γωνία Β είναι $45^{o}$ , άρα το τρίγωνο ADB

είναι ορθογώνιο ισοσκελές , συνεπώς $\left | \vec{AD} \right |=\left | \vec{BD} \right |$
Αν οι συνεταταγμένες του D είναι $(x_{0},y_{0})$ , προκύπτει η σχέση $x_{o}+7y_{0}=9$ (1)
Από την καθετότητα $\vec{AD},\vec{DC}$ , προκύπτει $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-9x_{0}-12y_{0}=-25$ (2)

Λύνοντας το σύστημα βγαίνουν για το D τα εξής ζεύγη λύσεων: (2,1)

και $(\frac{11}{2},\frac{1}{2})$
Το δεύτερο ζεύγος απορρίπτεται με κατάλληλο έλεγχο

#9

Η γεωμετρία επιβάλλεται, δεν απαγορεύεται...

AC^2=AB^2+AC^2-2(BD)BC

και βρίσκουμε το

Μετά

$\overrightarrow{BD}=\dfrac{BD}{BC} \overrightarrow{BC}$ και τώρα

$(x_D-x_B,y_D-y_B)=\dfrac{BD}{BC}(x_C-x_B,y_C-y_B)$

κ.λπ.

Ίχνος

Ίχνος

Re: Ίχνος

Re: Ίχνος

Re: Ίχνος

Re: Ίχνος

Re: Ίχνος

Re: Ίχνος

Re: Ίχνος

Re: Ίχνος

Μέλη σε σύνδεση