Νέα κορυφή

KARKAR · #1

: Νέα κορυφή.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Διπλώσαμε το ορθογώνιο OABC

, έτσι ώστε η κορυφή

να συμπέσει με την

.

Η νέα θέση της κορυφής

είναι η

, της οποίας να βρείτε τις συντεταγμένες .

#2

Μικρή παραλλαγή της είχε πέσει στον Διαγωνισμό Καγκουρό το 2012, για μαθητές Β, Γ Λυκείου. Δεν είναι ακριβώς η ίδια άσκηση αλλά λύνεται με τον ίδιο τρόπο. Παραθέτω την εκδοχή του τότε Διαγωνισμού και την λύση που είχα γράψει στο αντίστοιχο βιβλίο μου.

Ένα κομμάτι χαρτί ορθογωνίου σχήματος $AB\Gamma \Delta$ διαστάσεων $4\times 6$ διπλώνεται κατά μήκος της ευθείας έτσι ώστε η κορυφή $\Gamma$ να συμπέσει με την , όπως στην εικόνα. Πόσο είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου ;

Λύση

Τα τρίγωνα AEM

και

είναι ίσα ως ορθογώνια με $AE=\Gamma \Delta = AB$ και, λόγω παραλληλίας των AN, EM

, έχουμε $\angle M_1=\angle A_2=\angle N_1$ . Έτσι το ANME

είναι ισεμβαδικό με το ABNM

. Επίσης το ANME

ισούται με το $N\Gamma \Delta M$ από το οποίο προέκυψε με την δίπλωση. Άρα τα ισεμβαδικά $ABNM, N\Gamma \Delta M$ έχουν, το καθένα, εμβαδόν όσο το μισό του αρχικού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, δηλαδή $\frac {1}{2} \cdot 4 \cdot 16= 32 \, cm^2$ . Συμπεραίνουμε ότι και το ίσο τους ANME

έχει εμβαδόν $32\, cm^2$ .

#3

Ας πούμε ότι η δίπλωση έγινε κατά την ακμή

. Αν

θα είναι

. . Αλλά

οπότε από το Π. Θ. στο $\vartriangle AKD$ θα έχω:

$D{K^2} = A{K^2} + A{D^2} \Rightarrow {(9 - x)^2} = {x^2} + {3^2}$ και άρα : $\left\{ \begin{gathered} x = AK = 4 \hfill \\ u = KB = 5 \hfill \\ CL = 4 \hfill \\ LD = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: νέα κορυφή.png (22.73 KiB) Προβλήθηκε 602 φορές

Η ευθεία $DK \to \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0$ . Η κάθετη σ αυτή ευθεία

$DB' \to 4x - 3y + t = 0$ και αφού επαληθεύεται από το D(0,3)

έχω:

.

Δηλαδή $DB' \to \boxed{4x - 3y = - 9}\,\,\,(1)$ Τώρα το

θα προκύψει από την τομή της προηγουμένης ευθείας με την από το

παράλληλη στην ευθεία

,

(είτε με την από το

κάθετη στην

) ( επιλέγω τη δεύτερη)

$\overrightarrow {KL} = (1,3)$ και η $CB' \bot KL$ θα έχει εξίσωση :

$y - 3 = - \dfrac{1}{3}(x - 9) \Leftrightarrow \boxed{x + 3y = 18}\,\,(2)$ Το σύστημα των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)\,\,$ δίδει:

$\boxed{B'\left( {\frac{9}{5},\frac{{27}}{5}} \right)}$

KARKAR · #4

: Νέα κορυφή.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2018 1:23 am
Μικρή παραλλαγή της είχε πέσει στον Διαγωνισμό Καγκουρό το 2012, για μαθητές Β, Γ Λυκείου . Δεν είναι ακριβώς η ίδια άσκηση

αλλά λύνεται με τον ίδιο τρόπο. Παραθέτω την εκδοχή του τότε Διαγωνισμού και την λύση που είχα γράψει στο αντίστοιχο βιβλίο μου.

Ένα κομμάτι χαρτί ορθογωνίου σχήματος $AB\Gamma \Delta$ διαστάσεων $4\times 16$ διπλώνεται κατά μήκος της ευθείας

έτσι ώστε η κορυφή $\Gamma$ να συμπέσει με την , όπως στην εικόνα. Πόσο είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου ;

Το

είναι το $(\Gamma NM\Delta)$ και επειδή η

είναι μεσοκάθετη

της $A\Gamma$ , ισούται με το μισό εμβαδόν του ορθογωνίου , είναι δηλαδή 32cm^2

.

KARKAR · #5

: Συμμετρικό.png (6.47 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Γενικότερα , αν η κορυφή

έχει τετμημένη τριπλάσια της τεταγμένης , δείξτε ότι το συμμετρικό

του

ως προς την μεσοκάθετο της διαγωνίου

, έχει τεταγμένη τριπλάσια της τετμημένης !

Νέα κορυφή

Νέα κορυφή

Re: Νέα κορυφή

Re: Νέα κορυφή

Re: Νέα κορυφή

Re: Νέα κορυφή

Μέλη σε σύνδεση