Κάθετα διανύσματα

KARKAR · #1

: Κάθετα διανύσματα.png (8.98 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Προεκτείνω τις πλευρές AB , AC

του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ κατά ίσα τμήματα BD,CE

.

Αν

είναι το περίκεντρο του τριγώνου και

το μέσο της

, δείξτε ότι : $\overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{ME}$

Altrian · #2

Καλησπέρα,

Εστω $\large S$ το μέσο της $\large BC$ . Εχω $\large \left | MS \right |=\frac{x}{2}$ και $\large \left | KS \right |=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ .
$\large \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SK}$
$\large \overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CE}.$
$\large \overrightarrow{MK}*\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MS}*\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MS}*\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{MS}*\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{SK}*\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SK}*\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SK}*\overrightarrow{CE}=$
$\large \frac{x^{2}}{4}+\frac{a}{2}.\frac{x}{2}.cos60+\frac{x}{2}x.cos120+\frac{a\sqrt{3}}{6}.\frac{x}{2}cos30+0+\frac{a\sqrt{3}}{6}(-x)cos150=...=0$

Αρα $\large \overrightarrow{MK},\overrightarrow{ME}$ κάθετα.

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:33 pm
Κάθετα διανύσματα.pngΠροεκτείνω τις πλευρές του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ κατά ίσα τμήματα .

Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου και το μέσο της , δείξτε ότι : $\overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{ME}$

Εστω ότι $\vec{AB}=\vec{a},\vec{AC}=\vec{b},\vec{BD}=\vec{x},\vec{CE}=\vec{\vec{y}},\left | \vec{a} \right\left |=\left | \vec{b} \right |,\left | \vec{x} \right |=\left | \vec{y} \right |,$

$\vec{MK}=-\dfrac{1}{2}\vec{x}+\dfrac{1}{3}\vec{JA}=-\frac{1}{2}\vec{x}+\dfrac{1}{6}(-\vec{a}-\vec{b}),(1), \vec{ME}=\dfrac{1}{2}\vec{DC}+\vec{y}=\dfrac{1}{2}(-\vec{x}-\vec{a}- \vec{b})+\vec{y},(2)$

Συνεπώς

$(1),(2)\Rightarrow \vec{MK}.\vec{ME}=3\vec{x}(\vec{x}-2\vec{y})+(\vec{x}-2\vec{y})(\vec{a}+\vec{b})+3\vec{x}(\vec{a}-\vec{b})+\vec{a}^{2}-\vec{b}^{2}=3.\vec{x}^{2}-6\vec{x}.\vec{y}+\vec{a}.\vec{x}-2.\vec{a}.\vec{y}+\vec{b}.\vec{x}-2\vec{b}.\vec{y}+3\vec{x}.\vec{a}-3\vec{x}.\vec{b}=0$

Γιατί

$\left | \vec{a}+\vec{x} \right |=\left | \vec{b} \right+\vec{y} |\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{x}=\vec{b}.\vec{y}, \left | \vec{a}-\vec{b} \right |=\left | \vec{a} \right |=\left | \vec{b} \right |\Leftrightarrow \vec{a}^{2}=2\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}^{2},\vec{a}.\vec{x}=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{x} \right |,\left | \vec{b} \right\vec{y} |=\vec{b}.\vec{y},$

Γιάννης

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:33 pm
Κάθετα διανύσματα.pngΠροεκτείνω τις πλευρές του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ κατά ίσα τμήματα .

Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου και το μέσο της , δείξτε ότι : $\overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{ME}$

Μία εκτός φακέλου.

: Κάθετα διανύσματα.png (19.85 KiB) Προβλήθηκε 1082 φορές

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα AKD, BCD

έχω:
$\displaystyle K{D^2} = K{E^2} = {(a + x)^2} + \frac{{{a^2}}}{3} - a(a + x)$ $\boxed{K{D^2} = {x^2} + ax + \frac{{{a^2}}}{3}}$ (1)

και $\boxed{CD^2=a^2+ax+x^2}$ (2)

Με τους τύπους των διαμέσων στα KCD, ECD:

$\displaystyle K{M^2} + M{E^2} = \frac{{2K{D^2} + 2K{C^2} + 2D{E^2} + 2C{E^2} - 2C{D^2}}}{4}\mathop = \limits^{(1),(2)} {x^2} + ax + \frac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow$

$\boxed{KM^2+ME^2=KE^2}$ και το ζητούμενο έπεται.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι οι οξείες γωνίες αυτού του ορθογωνίου τριγώνου είναι $30^\circ-60^\circ.$

#5

Με άλλη εκφώνηση και με άλλες λύσεις Εδώ

Σταμ. Γλάρος · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:33 pm
Κάθετα διανύσματα.pngΠροεκτείνω τις πλευρές του ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ κατά ίσα τμήματα .

Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου και το μέσο της , δείξτε ότι : $\overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{ME}$

Καλησπέρα .
Μια προσπάθεια με συντεταγμένες ...

: Κάθετα διανύσματα.png (80.3 KiB) Προβλήθηκε 1026 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle{ADE}$ είναι ισόπλευρο αφού $\displaystyle{\widehat{DAE}=60^{o}}$ και AD=AE

.
Συνεπώς έχουμε το παραπάνω σχήμα.
Έστω F(0,t)

με $0<t<\sqrt{3}$ . Είναι $(AF)= \sqrt{3}-t$ (1) . Επίσης θεωρούμε (AC)=a

,

οπότε από ορθογώνιο τρίγωνο AFC

έχουμε $\displaystyle{\widehat{DAE}=30^{o}}$ , άρα $FC= \dfrac{a}{2}$ και $(AF)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (2) .

Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι $a= 2- \dfrac{2\sqrt{3}}{3}t$ και $(FC)=\dfrac{a}{2}= 1- \dfrac{\sqrt{3}}{3}t$ . Άρα $C\left ( 1- \dfrac{\sqrt{3}}{3}t ,t \right )$ .
Επίσης $M\left ( -\dfrac{\sqrt{3}t}{6} , \dfrac{t}{2}\right )$ και επειδή $(FK)=\dfrac{1}{3}(AF)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}-\dfrac{t}{3}$ συμπεραίνουμε ότι $(OK)= \dfrac{2t+\sqrt{3}}{3}$ .
Άρα $K\left ( 0,\dfrac{2t+\sqrt{3}}{3} \right )$ .
Από τα παραπάνω προκύπτουν : $\vec{MK}= \left ( \dfrac{\sqrt{3}t}{6} , \dfrac{t+2\sqrt{3}}{6}\right )$ και $\vec{MK}= \left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}t}{6} , -\dfrac{t}{2}\right )$ .
Τελικά από αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου έχουμε $\vec{MK}\cdot \vec{ME} =0$
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Κάθετα διανύσματα

Κάθετα διανύσματα

Re: Κάθετα διανύσματα

Re: Κάθετα διανύσματα

Re: Κάθετα διανύσματα

Re: Κάθετα διανύσματα

Re: Κάθετα διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση