Κύκλος και ευθεία

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου $(\mathcal{C})$ ο οποίος εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες συντεταγμένων $\mathrm{O}x$ και $\mathrm{O}y$ και το σημείο επαφής του με τον θετικό ημιάξονα $\mathrm{O}x$ είναι το $\mathrm{A}(2, 0)$ .
Αν ο πιο πάνω κύκλος έχει εξίσωση να δειχθεί ότι η εξίσωση της εφαπτομένης $(\varepsilon)$ του κύκλου σε τυχαίο σημείο $\mathrm{T} \left ( 2+2\cos \theta, 2 + 2 \sin \theta \right ) \; , \; \theta \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right)$ είναι $\displaystyle{x \cos \theta + y \sin \theta = 2 \cos \theta + 2 \sin \theta + 2 }$ .
Η εφαπτομένη $(\varepsilon)$ τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο $\mathrm{B}$ και η ευθεία $\mathrm{TA}$ τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο $\Gamma$ . Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου $\mathrm{M}$ του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{B} \Gamma$ .

Tolaso J Kos · #2

Διορθώθηκε τυπογραφικό στην εξίσωση του κύκλου ! Ευχαριστώ τους Χάρη Τιουρινγκ και Νίκο Φραγκάκη για την επισήμανση !!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 01, 2019 9:18 pm

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου $(\mathcal{C})$ ο οποίος εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες συντεταγμένων $\mathrm{O}x$ και $\mathrm{O}y$ και το σημείο επαφής του με τον θετικό ημιάξονα $\mathrm{O}x$ είναι το $\mathrm{A}(2, 0)$ .

Αν ο πιο πάνω κύκλος έχει εξίσωση να δειχθεί ότι η εξίσωση της εφαπτομένης $(\varepsilon)$ του κύκλου σε τυχαίο σημείο $\mathrm{T} \left ( 2+2\cos \theta, 2 + 2 \sin \theta \right ) \; , \; \theta \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right)$ είναι $\displaystyle{x \cos \theta + y \sin \theta = 2 \cos \theta + 2 \sin \theta + 2 }$ .

Η εφαπτομένη $(\varepsilon)$ τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο $\mathrm{B}$ και η ευθεία $\mathrm{TA}$ τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο $\Gamma$ . Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου $\mathrm{M}$ του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{B} \Gamma$ .

Καλημέρα!

i) Το κέντρο του κύκλου πρέπει να ισαπέχει από τους θετικούς ημιάξονες και επειδή το σημείο επαφής του με τον θετικό ημιάξονα $\mathrm{O}x$ είναι το $\mathrm{A}(2, 0)$ θα έχει κέντρο το O(2,2)

και εξίσωση (x-2)^2+(y-2)^2=4

ii)
Αρχικά παρατηρούμε πως το

είναι σημείο του κύκλου αφού $4\cos^2\vartheta +4\sin^2\vartheta =4$

Η

έχει συντελεστή διεύθυνσης $\dfrac{\sin\vartheta }{cos\vartheta }$ .
Άρα η εφαπτομένη στο

θα έχει εξίσωση : $y-(2+2\sin\vartheta )=\left ( x-(2+2\cos\vartheta ) \right )\cdot \dfrac{-\cos\vartheta }{\sin\vartheta }\Leftrightarrow y\sin\vartheta -2\sin\vartheta -2\sin^2\vartheta =-x\cos\vartheta +2\cos\vartheta +...2\cos^2\vartheta \Leftrightarrow y\sin\vartheta +x\cos\vartheta =2\cos\vartheta +2\sin\vartheta +2$

iii)
To

ανήκει στην $\varepsilon$ και στο x'x

άρα θα έχει συντεταγμένες $B\left ( \dfrac{2\cos\vartheta +2\sin\vartheta +2}{\cos\vartheta },0 \right )$

Το $\Gamma$ ανήκει στην

και στον

άρα θα έχει συντεταγμένες $\Gamma \left ( 0,-\dfrac{2\sin\vartheta +2}{\cos\vartheta } \right )$

Είναι $M\left ( \dfrac{x_B}{2},\dfrac{y_\Gamma }{2} \right )$ άρα $M\left ( 1+\dfrac{\sin\vartheta +1}{\cos\vartheta },-\dfrac{\sin\vartheta +1}{\cos\vartheta } \right )$
Από όπου το

κινήται στην ευθεία y=-x+1

Κύκλος και ευθεία

Κύκλος και ευθεία

Re: Κύκλος και ευθεία

Re: Κύκλος και ευθεία

Μέλη σε σύνδεση