Παραμετροποιημένη συνθήκη

Al.Koutsouridis · #1

Η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ υπό την συνθήκη

$\displaystyle \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1$

ισούται με

. Με τι ισούται η θετική τιμή της παραμέτρου

;

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 26, 2019 10:15 am
Η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ υπό την συνθήκη

$\displaystyle \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1$

ισούται με . Με τι ισούται η θετική τιμή της παραμέτρου ;

Πρέπει και y> 0

Αν $\frac{x^2+y^2}{2}<1$ τότε $x+2y\leq \sqrt{(x^2+y^2)(1^2+2^2)}<\sqrt{10}<4$ . Η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ δεν μπορεί να είναι

.

Επομένως πρέπει $\frac{x^2+y^2}{2}>1$

Επειδή $\displaystyle \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1\Leftrightarrow x^2+y^2-2ay\leqslant 0$ ,

ζητάμε η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ να είναι

, όταν

$\frac{x^2+y^2}{2}>1$ και $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία $\displaystyle{x+2y=4}$ να εφάπτεται στον δίσκο $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$ , αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς.

Αν δεν ξέφυγε κάτι $a=4\sqrt{5}-8$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:24 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 26, 2019 10:15 am
Η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ υπό την συνθήκη

$\displaystyle \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1$

ισούται με . Με τι ισούται η θετική τιμή της παραμέτρου ;
Πρέπει και

Αν $\frac{x^2+y^2}{2}<1$ τότε $x+2y\leq \sqrt{(x^2+y^2)(1^2+2^2)}<\sqrt{10}<4$ . Η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ δεν μπορεί να είναι .

Επομένως πρέπει $\frac{x^2+y^2}{2}>1$

Επειδή $\displaystyle \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} ay \geq 1\Leftrightarrow x^2+y^2-2ay\leqslant 0$ ,

ζητάμε η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ να είναι , όταν

$\frac{x^2+y^2}{2}>1$ και $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία $\displaystyle{x+2y=4}$ να εφάπτεται στον δίσκο $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$ , αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς.

Αν δεν ξέφυγε κάτι $a=4\sqrt{5}-8$

Δεν ξέφυγε κάτι Κώστα.
Για να δούμε μια δικαιολόγηση με ακροβατικό.

Είναι

$\displaystyle x+2y=x+2(y-a)+2a\leq (1+2^{2})^{\frac{1}{2}}(x^{2}+(y-a)^{2})^{\frac{1}{2}}+2a\leq \sqrt{5}a+2a=a(2+\sqrt{5})$

θέλουμε $a(2+\sqrt{5})=4$

που δίνει $a=4\sqrt{5}-8$

Το μέγιστο πιάνεται για $x=\frac{a}{\sqrt{5}},y=a+\frac{2a}{\sqrt{5}},$

Al.Koutsouridis · #4

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:24 pm

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία $\displaystyle{x+2y=4}$ να εφάπτεται στον δίσκο $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$ , αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς.

Η επιλογή του φακέλου ήταν ένα είδος υπόδειξης

, πιθανόν άστοχη, το προβλημά ανήκει κανονικά στην γενικότερη ύλη της Β' Λυκείου.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 01, 2019 12:06 pm

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 31, 2019 5:24 pm

Η μόνη σχέση, τώρα με τον φάκελο, που βλέπω είναι, τελικά, η ευθεία $\displaystyle{x+2y=4}$ να εφάπτεται στον δίσκο $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$ , αλλά δεν μπορώ να το αιτιολογήσω επαρκώς.

Η επιλογή του φακέλου ήταν ένα είδος υπόδειξης , πιθανόν άστοχη, το προβλημά ανήκει κανονικά στην γενικότερη ύλη της Β' Λυκείου.

OK!!

Zητάμε η μέγιστη τιμή της έκφρασης $\displaystyle{x+2y}$ να είναι

, όταν

$\frac{x^2+y^2}{2}>1$ και $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$

O κύκλος $\frac{x^2+y^2}{2}=1$ βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που οριζει η ευθεία x+2y=4

στο οποίο

Στο ίδιο ημιεπίπεδο πρέπει να βρήσκεται και ο δίσκος $x^2+y^2-2ay\leqslant 0$ και μάλιστα πρέπει να εφάπτεται με την ευθεία x+2y=4

, αφού αν έχει σημεία στο άλλο ημιεπίπεδο θα είναι x+2y>4

, θα είχαμε τιμές, δηλαδή, μεγαλύτερες του 4. Το μέγιστο θα είναι στο σημείο επαφής.

Η συνθήκη, τώρα, επαφής του κύκλου x^2+y^2-2ay = 0

και της ευθείας x+2y=4

δίνει την ζητούμενη τιμή του α.

Al.Koutsouridis · #6

Τα ίδια, αλλά πιο γεωμετρικά για να μην πάει ο φάκελος χαμένος και στην πρώτη περίπτωση που $0 < \dfrac{x^2+y^2}{2} < 1$ , y > 0

:

Έχουμε ισοδύναμα τις συνθήκες για τα x,y

$\left\{\begin{matrix} 0 < x^2+y^2 < \left ( \sqrt{2} \right )^2 \\ 0 < y < \sqrt{2} \end{matrix}\right.$ ,

που ορίζουν το εσωτερικό ενός ημικυκλίου. Αν υπήρχαν (x,y)

για τα οποία x+2y=4

, τότε η ευθεία x+2y-4=0

και το παραπάνω ημικύκλιο θα είχαν κοινά σημεία. Αυτό όμως είναι αδύνατο, αφού η απόσταση

του κέντρου του ημικυκλιού από την ευθεία είναι

$d = \dfrac{\left | 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 -4 \right | }{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{5}} > \sqrt{2}$

μεγαλύτερη από την ακτίνα του.

Παραμετροποιημένη συνθήκη

Παραμετροποιημένη συνθήκη

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

Re: Παραμετροποιημένη συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση